(2) Calcule \iint_{R} \frac{\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}+y^{2}} d x d y, onde R é a região do primeiro quadrante delimitada por x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4
onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.
Informações relevantes fornecidas (peguei estas informações do enunciado/trecho enviado):
a região R é o anel circular no primeiro quadrante com raio interno 1 e raio externo 2, isto é 1 \leqslant r \leqslant 2;
o ângulo \theta varia no primeiro quadrante, isto é 0 \leqslant \theta \leqslant \dfrac{\pi}{2};
a integranda é \dfrac{\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}+y^{2}}.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares?
Quando a função envolve x^{2}+y^{2} e a região é circular (ou anelar), coordenadas polares deixam tudo muito mais simples porque x^{2}+y^{2}=r^{2} e a simetria da região fica explícita. Na mudança para coordenadas polares usamos:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
e o elemento de área transforma-se segundo o jacobiano:
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Explicando o jacobiano de forma simples: quando trocamos (x,y) por (r,\theta), as pequenas áreas em (x,y) têm área aproximada r\,dr\,d\theta (o fator r aparece pela curvatura das coordenadas polares).