(2) Calcule \iint_{R} \frac{\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}+y^{2}} d x d y, onde R é a região do primeiro quadrante delimitada por x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4
\begin{aligned} & 1 \leqslant p \leqslant 2 \\\ & 0 \leqslant 0 \leqslant \frac{\pi}{2} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla
\iint_{R} \frac{\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy,
onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.
Informações relevantes fornecidas (peguei estas informações do enunciado/trecho enviado):
  • a região R é o anel circular no primeiro quadrante com raio interno 1 e raio externo 2, isto é 1 \leqslant r \leqslant 2;
  • o ângulo \theta varia no primeiro quadrante, isto é 0 \leqslant \theta \leqslant \dfrac{\pi}{2};
  • a integranda é \dfrac{\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares?
Quando a função envolve x^{2}+y^{2} e a região é circular (ou anelar), coordenadas polares deixam tudo muito mais simples porque x^{2}+y^{2}=r^{2} e a simetria da região fica explícita. Na mudança para coordenadas polares usamos:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
e o elemento de área transforma-se segundo o jacobiano:
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Explicando o jacobiano de forma simples: quando trocamos (x,y) por (r,\theta), as pequenas áreas em (x,y) têm área aproximada r\,dr\,d\theta (o fator r aparece pela curvatura das coordenadas polares).

Passo 3

Converter a integranda para polares. Observe que
\sqrt{x^{2}+y^{2}} = r,
então
\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \ln r
e
x^{2}+y^{2} = r^{2}.
Portanto a integranda fica
\frac{\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{\ln r}{r^{2}}.
Multiplicando pelo jacobiano r\,dr\,d\theta, o integrando da integral dupla em polares é
\frac{\ln r}{r^{2}}\cdot r = \frac{\ln r}{r}.
Assim a integral sobre R vira
\iint_{R} \frac{\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=1}^{2} \frac{\ln r}{r}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcular a integral interna em r:
\int_{r=1}^{2} \frac{\ln r}{r}\,dr.
Uma maneira direta é usar a substituição u=\ln r. Então du=\dfrac{dr}{r}. Assim
\int_{1}^{2} \frac{\ln r}{r}\,dr = \int_{u=\ln 1}^{\ln 2} u\,du.
Integrando u obtemos
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2},
portanto, avaliando entre os limites,
\int_{1}^{2} \frac{\ln r}{r}\,dr = \left.\frac{(\ln r)^{2}}{2}\right|_{r=1}^{r=2} = \frac{(\ln 2)^{2}}{2} - \frac{(\ln 1)^{2}}{2}.
Como \ln 1 = 0, isso simplifica para
\int_{1}^{2} \frac{\ln r}{r}\,dr = \frac{(\ln 2)^{2}}{2}.

Passo 5

Agora substituímos o resultado da integral interna na integral em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\left(\frac{(\ln 2)^{2}}{2}\right)\,d\theta = \frac{(\ln 2)^{2}}{2}\int_{0}^{\pi/2} d\theta.
A integral de d\theta entre 0 e \dfrac{\pi}{2} é simplesmente \dfrac{\pi}{2}. Portanto o valor final da integral dupla será o produto desses fatores.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}(\ln 2)^{2}

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