Calcule \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)\, d x\, d y.
Informações dadas:
A expressão a ser integrada (o integrando) é \left(x^{2}+y^{2}\right).
O domínio de integração é dado por y variando de 0 até 2 e, para cada y, x variando de 0 até \sqrt{4-y^{2}}.
A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral dupla?
Passo 2
Vamos entender a região de integração no plano xy. A fronteira para x é x=\sqrt{4-y^{2}}. Elevando ao quadrado obtemos
x^{2}=4-y^{2}
ou seja
x^{2}+y^{2}=4.
Portanto a curva que limita a integração é o círculo de raio 2 centrado na origem. Como x vai de 0 até \sqrt{4-y^{2}} e y vai de 0 até 2, a região é o quarto de disco no primeiro quadrante, isto é
Observação: essa descrição da região veio diretamente dos limites de integração fornecidos no enunciado.
Passo 3
Escolha do método. Temos duas dicas fortes aqui:
O integrando é \left(x^{2}+y^{2}\right), que depende só da soma dos quadrados — forma radial.
A região é um setor circular (um quarto de disco).
Essas duas coisas juntas tornam a troca para coordenadas polares a escolha natural, porque em polares a soma x^{2}+y^{2} vira uma potência simples de r e a região tem limites simples em r e \theta. Outro método (manter cartesiano) daria contas mais complicadas; por isso uso coordenadas polares.
Agora uma pequena aula sobre coordenadas polares:
Em coordenadas polares definimos \;x=r\cos\theta\; e \;y=r\sin\theta\;, onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo.
O elemento de área dA em polares não é apenas dr\,d\theta; é necessário o fator jacobiano. O jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais:
Converter a integral para polares. Pelo passo 2 a região é o quarto-disco com r de 0 até 2 e \theta de 0 até \tfrac{\pi}{2}. Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e dx\,dy=r\,dr\,d\theta obtemos:
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)\, dx\, dy = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2} r^{2}\cdot r\, dr\, d\theta.
Simplificando o integrando:
r^{2}\cdot r = r^{3}.
Passo 5
Calcular a integral em polares passo a passo. Primeiro integramos em r:
\int_{r=0}^{2} r^{3}\, dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{4}}{4}-0 = \frac{16}{4}=4.
Recapitulando a técnica usada (para que você consiga reproduzir na prova):
Identifique se a região e o integrando sugerem coordenadas polares (regiões circulares e integrandos com x^{2}+y^{2}).
Faça a troca x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, substitua x^{2}+y^{2} por r^{2} e lembre-se de multiplicar pelo jacobiano r, ou seja, use dx\,dy=r\,dr\,d\theta.
Ajuste os limites de \theta e r conforme a região. Aqui era \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] e r\in[0,2].
Integre primeiro em r (quando possível), depois em \theta.