Calcule \iint_{Q} \int 12 x y^{2} z^{3} d V na caixa retangular Q=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ;-1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 3,0 \leq z \leq 2\right\}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla do integrando 12 x y^{2} z^{3} sobre a caixa retangular
Informações dadas: \;1) o integrando é 12 x y^{2} z^{3};\n \;2) os limites de x são -1 a 2;\n \;3) os limites de y são 0 a 3;\n \;4) os limites de z são 0 a 2.\n
A pergunta é: qual é o valor numérico de
\iiint_{Q} 12 x y^{2} z^{3}\,dV\,?
Passo 2
Vamos usar a ideia de integrar uma variável de cada vez (integração iterada). Em uma caixa retangular com limites constantes, podemos avaliar a integral tripla como integrais iteradas e, quando o integrando se separa em produto de funções de x, y e z, isso facilita muito porque podemos separar as integrais. Intuitivamente: ao integrar em x tratamos y e z como constantes, e assim por diante. Escrevendo a integral iterada na ordem dx\,dy\,dz temos:
\iiint_{Q} 12 x y^{2} z^{3}\,dV = \int_{z=0}^{2}\int_{y=0}^{3}\int_{x=-1}^{2} 12 x y^{2} z^{3}\,dx\,dy\,dz.
Passo 3
Observe que o integrando pode ser visto como produto de fatores que dependem de variáveis diferentes:
12 x y^{2} z^{3} = (12)(x)(y^{2})(z^{3}).
Ao integrar em x primeiro, 12, y^{2} e z^{3} são constantes em relação a x. Então calculamos a integral interna
\int_{x=-1}^{2} 12 x y^{2} z^{3}\,dx.
Passo 4
Calcule a primitiva em x. Como y e z são constantes aqui, podemos fatorá-los: