Calcule \iint_{Q} \int 12 x y^{2} z^{3} d V na caixa retangular Q=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ;-1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 3,0 \leq z \leq 2\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla do integrando 12 x y^{2} z^{3} sobre a caixa retangular
Q=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\;|\;-1\le x\le 2,\;0\le y\le 3,\;0\le z\le 2\}.
Informações dadas:
\;1) o integrando é 12 x y^{2} z^{3};\n
\;2) os limites de x são -1 a 2;\n
\;3) os limites de y são 0 a 3;\n
\;4) os limites de z são 0 a 2.\n
A pergunta é: qual é o valor numérico de
\iiint_{Q} 12 x y^{2} z^{3}\,dV\,?

Passo 2

Vamos usar a ideia de integrar uma variável de cada vez (integração iterada). Em uma caixa retangular com limites constantes, podemos avaliar a integral tripla como integrais iteradas e, quando o integrando se separa em produto de funções de x, y e z, isso facilita muito porque podemos separar as integrais. Intuitivamente: ao integrar em x tratamos y e z como constantes, e assim por diante. Escrevendo a integral iterada na ordem dx\,dy\,dz temos:
\iiint_{Q} 12 x y^{2} z^{3}\,dV = \int_{z=0}^{2}\int_{y=0}^{3}\int_{x=-1}^{2} 12 x y^{2} z^{3}\,dx\,dy\,dz.

Passo 3

Observe que o integrando pode ser visto como produto de fatores que dependem de variáveis diferentes:
12 x y^{2} z^{3} = (12)(x)(y^{2})(z^{3}).
Ao integrar em x primeiro, 12, y^{2} e z^{3} são constantes em relação a x. Então calculamos a integral interna
\int_{x=-1}^{2} 12 x y^{2} z^{3}\,dx.

Passo 4

Calcule a primitiva em x. Como y e z são constantes aqui, podemos fatorá-los:
\int 12 x y^{2} z^{3}\,dx = 12 y^{2} z^{3} \int x\,dx.
A primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}. Portanto a primitiva completa é
12 y^{2} z^{3}\cdot \frac{x^{2}}{2} = 6 y^{2} z^{3} x^{2}.
Agora avaliamos entre x=-1 e x=2:
\left.6 y^{2} z^{3} x^{2}\right|_{x=-1}^{x=2} =6 y^{2} z^{3}\big(2^{2}-(-1)^{2}\big) =6 y^{2} z^{3}\big(4-1\big) =6 y^{2} z^{3}\cdot 3 =18 y^{2} z^{3}.
Logo a integral sobre x 18 y^{2} z^{3}.

Passo 5

Substituindo o resultado da integral em x, ficamos com uma integral dupla em y e z:
\int_{z=0}^{2}\int_{y=0}^{3} 18 y^{2} z^{3}\,dy\,dz.
Como 18 é constante e y^{2} depende só de y e z^{3} depende só de z, podemos separar em produto de integrais:
\int_{z=0}^{2}\int_{y=0}^{3} 18 y^{2} z^{3}\,dy\,dz =18\left(\int_{y=0}^{3} y^{2}\,dy\right)\left(\int_{z=0}^{2} z^{3}\,dz\right).
Isto usa a propriedade de que a integral de um produto de funções de variáveis separadas sobre um retângulo é o produto das integrais.

Passo 6

Calcule a integral em y:
\int_{0}^{3} y^{2}\,dy = \left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{0}^{3} = \frac{3^{3}}{3}-0=\frac{27}{3}=9.

Passo 7

Calcule a integral em z:
\int_{0}^{2} z^{3}\,dz = \left.\frac{z^{4}}{4}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{4}}{4}-0=\frac{16}{4}=4.

Passo 8

Multiplicando tudo:
18\cdot 9\cdot 4.
Primeiro 9\cdot 4=36. Depois 18\cdot 36. Uma maneira rápida: 18\cdot 36 = (18\cdot 4)\cdot 9 =72\cdot 9 =648. Assim o valor da integral é 648.

Resposta

648

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