Use uma integral dupla para calcular a área da região, no primeiro quadrante, delimitada pela curva y=\frac{1}{x}, pela reta que passa pelos pontos (0,0) e (1,1), e pela reta que passa pelos pontos (0,0) e \left(2, \frac{1}{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede a área, no primeiro quadrante, da região delimitada por três curvas que se encontram em torno da origem: a curva \,y=\frac{1}{x}\,, a reta que passa por (0,0) e (1,1) (ou seja \,y=x\,) e a reta que passa por (0,0) e \left(2,\frac{1}{2}\right) (ou seja \,y=\tfrac{1}{4}x\,).\n
Informações relevantes fornecidas:
\,y=\frac{1}{x}\,, \,y=x\,, \,y=\tfrac{1}{4}x\,.\n
Pontos de interseção dados no enunciado: (1,1) é interseção de \,y=\frac{1}{x} com \,y=x\,, e \left(2,\tfrac{1}{2}\right) é interseção de \,y=\frac{1}{x} com \,y=\tfrac{1}{4}x\,.\n
O objetivo final: calcular a área dessa região usando uma integral dupla.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares? As duas retas passam por (0,0), ou seja são raios que saem da origem. Em coordenadas polares um ponto é \,(r,\theta)\, com x=r\cos\theta e y=r\sin\theta. Raios com equações do tipo y=mx correspondem a ângulos fixos \theta=\arctan m, então as fronteiras angulares ficam simples. Além disso, o elemento de área em polares é
dA = r\,dr\,d\theta,
que facilita integrar a região definida por um raio máximo r(\theta) para cada ângulo \theta. Vou então montar uma integral dupla em polares.

Passo 3

Encontrar os ângulos que definem as duas retas:
a) Para \,y=x\, temos \tan\theta=1, logo
\theta_2 = \arctan(1)=\frac{\pi}{4}.
b) Para \,y=\tfrac{1}{4}x\, temos \tan\theta=\tfrac{1}{4}, logo
\theta_1 = \arctan\!\left(\tfrac{1}{4}\right).
Portanto o ângulo \theta varia de \theta_1=\arctan\!\left(\tfrac{1}{4}\right) até \theta_2=\tfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Agora converter a curva \,y=\frac{1}{x}\, para polares. Substituímos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta:
r\sin\theta = \frac{1}{r\cos\theta}.
Multiplicando ambos os lados por r\cos\theta obtemos
r^2 \sin\theta\cos\theta = 1.
Usando a identidade \sin\theta\cos\theta = \tfrac{1}{2}\sin(2\theta), temos
r^2 \cdot \tfrac{1}{2}\sin(2\theta) = 1,
portanto
r^2 = \frac{2}{\sin(2\theta)}.
Como r\ge 0, o raio limite dado pela curva é
r(\theta) = \sqrt{\frac{2}{\sin(2\theta)}}.

Passo 5

Montar a integral dupla em polares: para \theta entre \theta_1 e \theta_2, o r varia de 0 até r(\theta). Assim a área A é
A = \int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{0}^{r(\theta)} r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral interna em r. A integral \int_{0}^{r(\theta)} r\,dr = \tfrac{1}{2}r(\theta)^2. Substituindo r(\theta)^2=\dfrac{2}{\sin(2\theta)} (obtido no Passo 4) temos
\tfrac{1}{2}r(\theta)^2 = \tfrac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sin(2\theta)} = \frac{1}{\sin(2\theta)}.
Logo a integral para a área reduz-se a
A = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{1}{\sin(2\theta)}\,d\theta = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \csc(2\theta)\,d\theta.

Passo 7

Calcular a primitiva de \csc(2\theta). Faço a substituição u=2\theta, então du=2\,d\theta e d\theta=\tfrac{1}{2}du. Assim
\int \csc(2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\int \csc(u)\,du.
A primitiva conhecida é \int \csc u\,du = \ln\!\big|\tan\frac{u}{2}\big| + C. Aplicando isso:
\int \csc(2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\ln\!\big|\tan\frac{u}{2}\big| + C = \frac{1}{2}\ln\!\big|\tan \theta\big| + C,
pois \frac{u}{2}=\theta.

Passo 8

Avaliar a primitiva entre os limites \theta_1=\arctan\!\left(\tfrac{1}{4}\right) e \theta_2=\tfrac{\pi}{4}:
A = \left.\frac{1}{2}\ln\!\big|\tan\theta\big|\right|_{\theta_1}^{\theta_2} = \frac{1}{2}\big(\ln(\tan\theta_2)-\ln(\tan\theta_1)\big).
Sabendo que \tan\theta_2=\tan\!\tfrac{\pi}{4}=1 e que \tan\theta_1=\tan\big(\arctan(\tfrac{1}{4})\big)=\tfrac{1}{4}, obtemos
A = \frac{1}{2}\big(\ln 1 - \ln\tfrac{1}{4}\big) = \frac{1}{2}\big(0 - \ln\tfrac{1}{4}\big) = \frac{1}{2}\ln 4.
Como \ln 4 = 2\ln 2, segue que
A = \ln 2.

Resposta

\ln 2

Exercícios relacionados