Calcule
, onde
e S é a fronteira da região delimitada pelo parabolóide
e pelo plano
com
exterior a S .
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de superfície
onde
e
é a fronteira da região limitada pelo paraboloide
e pelo plano
. A normal
é a normal exterior à região.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O campo vetorial é
. - A superfície
é a superfície fechada que envolve o volume limitado por por baixo e por cima. - Pede-se o fluxo de
através de com orientação para fora (exterior).
Passo 2
Escolha do método: usar o Teorema da Divergência (Gauss). Justificativa rápida: a superfície
é a fronteira fechada de uma região sólida
bem definida, e
é suave (componentes polinomiais). Nessas condições o Teorema da Divergência é aplicável e transforma a integral de superfície em uma integral de volume, que costuma ser mais simples de calcular.
Passo 3
Enunciado do Teorema da Divergência (forma usada): se
é uma região sólida com fronteira orientada para fora
e
é
em uma vizinhança de
, então
Aqui
é a divergência do campo, isto é a soma das derivadas parciais das componentes do campo em relação às respectivas variáveis.
Passo 4
Calcular a divergência de
. Escrever a componente por componente:
A divergência é
Calcule cada termo:
Portanto
Observação: a divergência é a funcão constante
, o que simplifica muito a integral de volume.
Passo 5
Pela Divergência,
ou seja, o fluxo pedido é simplesmente o volume da região
limitada por
e
.
Passo 6
Determinar o volume
. É conveniente usar coordenadas cilíndricas porque a superfície de baixo é
em cilindricas e a projeção no plano
é um disco. Lembrar das fórmulas de conversão:
e o elemento de volume é
(a presença do
é o jacobiano da mudança de variáveis). Agora achar os limites: a interseção do paraboloide com o plano
é
, logo
e
. Assim os limites são
Passo 7
Escrever e calcular a integral de volume:
Calcule a integral em
primeiro:
Agora integre em
:
Finalmente integre em
:
Passo 8
Interpretação final: como
, o fluxo é igual ao volume da região
, que calculamos ser
. Portanto a integral de superfície pedida vale
.