Calcule \iint_{S}\langle\vec{F}, \vec{n}\rangle d S, onde \vec{F}(x, y, z)=-x \vec{i}+2 z \vec{k} e S é a fronteira da região delimitada pelo parabolóide z=x^{2}+y^{2} e pelo plano z=1 com \vec{n} exterior a S .

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{S}\langle\vec{F},\vec{n}\rangle\,dS,
onde \vec{F}(x,y,z)=-x\vec{i}+2z\vec{k} e S é a fronteira da região limitada pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e pelo plano z=1. A normal \vec{n} é a normal exterior à região.
Informações dadas:
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=-x\vec{i}+0\vec{j}+2z\vec{k}.
  • A superfície S é a superfície fechada que envolve o volume V limitado por z=x^{2}+y^{2} por baixo e z=1 por cima.
  • Pede-se o fluxo de \vec{F} através de S com orientação para fora (exterior).

Passo 2

Escolha do método: usar o Teorema da Divergência (Gauss). Justificativa rápida: a superfície S é a fronteira fechada de uma região sólida V bem definida, e \vec{F} é suave (componentes polinomiais). Nessas condições o Teorema da Divergência é aplicável e transforma a integral de superfície em uma integral de volume, que costuma ser mais simples de calcular.

Passo 3

Enunciado do Teorema da Divergência (forma usada): se V é uma região sólida com fronteira orientada para fora S=\partial V e \vec{F} é C^{1} em uma vizinhança de V, então
\iint_{S}\langle\vec{F},\vec{n}\rangle\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV.
Aqui \operatorname{div}\vec{F} é a divergência do campo, isto é a soma das derivadas parciais das componentes do campo em relação às respectivas variáveis.

Passo 4

Calcular a divergência de \vec{F}. Escrever a componente por componente:
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(-x,\,0,\,2z\bigr).
A divergência é
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(-x)+\frac{\partial}{\partial y}(0)+\frac{\partial}{\partial z}(2z).
Calcule cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}(-x)=-1,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(0)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial z}(2z)=2.
Portanto
\operatorname{div}\vec{F}=-1+0+2=1.
Observação: a divergência é a funcão constante 1, o que simplifica muito a integral de volume.

Passo 5

Pela Divergência,
\iint_{S}\langle\vec{F},\vec{n}\rangle\,dS=\iiint_{V}1\,dV,
ou seja, o fluxo pedido é simplesmente o volume da região V limitada por z=x^{2}+y^{2} e z=1.

Passo 6

Determinar o volume V. É conveniente usar coordenadas cilíndricas porque a superfície de baixo é z=r^{2} em cilindricas e a projeção no plano xy é um disco. Lembrar das fórmulas de conversão:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,
e o elemento de volume é dV=r\,dz\,dr\,d\theta (a presença do r é o jacobiano da mudança de variáveis). Agora achar os limites: a interseção do paraboloide com o plano z=1 é x^{2}+y^{2}=1, logo r^{2}=1 e r=1. Assim os limites são
0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le r\le 1,\qquad r^{2}\le z\le 1.

Passo 7

Escrever e calcular a integral de volume:
\iiint_{V}1\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{r^{2}}^{1} r\,dz\,dr\,d\theta.
Calcule a integral em z primeiro:
\int_{r^{2}}^{1} r\,dz = r\bigl(1-r^{2}\bigr).
Agora integre em r:
\int_{0}^{1} r\bigl(1-r^{2}\bigr)\,dr=\int_{0}^{1}\bigl(r-r^{3}\bigr)\,dr =\left[\tfrac{1}{2}r^{2}-\tfrac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{1} =\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4}.
Finalmente integre em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\tfrac{1}{4}\,d\theta=\tfrac{1}{4}\cdot 2\pi=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 8

Interpretação final: como \operatorname{div}\vec{F}=1, o fluxo é igual ao volume da região V, que calculamos ser \tfrac{\pi}{2}. Portanto a integral de superfície pedida vale \tfrac{\pi}{2}.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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