Seja a superfície S parte do paraboloide z=x^{2}+y^{2} que se encontra abaixo do plano z=1.
(a) Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas cartesianas.
(b) Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas polares.
(c) Calcule a área de S .
Passo 1
O enunciado dá a superfície S definida como a parte do paraboloide z=x^{2}+y^{2} que fica abaixo do plano z=1. As perguntas são:
(a) Obter uma parametrização para S usando coordenadas cartesianas.
(b) Obter uma parametrização para S usando coordenadas polares.
(c) Calcular a área de S.
Informações relevantes fornecidas ou imediatamente inferíveis:
A superfície é o gráfico de z=f(x,y)=x^{2}+y^{2} restrito à região onde z\le1.
A interseção com o plano z=1 é a curva dada por x^{2}+y^{2}=1, ou seja, um disco de raio 1 no plano xy.
Portanto o domínio de projeção no plano xy é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\}.
Passo 2
(a) Parametrização em coordenadas cartesianas — ideia e construção.
Quando temos uma superfície dada como gráfico de uma função z=f(x,y), a parametrização natural em coordenadas cartesianas é tomar os próprios x e y como parâmetros. Isso significa definir um mapeamento
\mathbf{r}(x,y) = \big(x,\;y,\;f(x,y)\big).
Aqui cada variável na parametrização corresponde a uma coordenada geométrica: x e y são as variáveis do plano, e f(x,y) dá a altura z.
Aplicando ao nosso caso com f(x,y)=x^{2}+y^{2}, uma parametrização cartesiana é
\mathbf{r}(x,y)=\big(x,\;y,\;x^{2}+y^{2}\big),
com domínio
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\}.
Isso responde (a).
Passo 3
Explicando como usar essa parametrização para calcular área: definição e cálculo dos vetores tangentes.
Dada uma parametrização \mathbf{r}(u,v) de uma superfície, os vetores tangentes são as derivadas parciais \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v. A área da superfície é dada por
Portanto o elemento de área em polares é \big\|\mathbf{R}_r\times\mathbf{R}_\theta\big\|\,dr\,d\theta = r\sqrt{1+4r^{2}}\,dr\,d\theta. Note que isso coincide com substituir x^{2}+y^{2}=r^{2} na expressão \sqrt{1+4(x^{2}+y^{2})} e multiplicar pelo jacobiano r do mudança para polares.
Passo 7
(c) Cálculo da área usando a parametrização polar — integral e antiderivada.
As parametrizações nas partes (a) e (b) são as naturais: a cartesiana usa (x,y) no disco unitário e a polar usa (r,\theta) com 0\le r\le1, 0\le\theta\le2\pi.
O cálculo da área ficou simples ao passar para polares, porque a superfície é radialmente simétrica e a integral reduz-se a uma integral de uma variável que resolvemos por substituição.