Seja a superfície S parte do paraboloide z=x^{2}+y^{2} que se encontra abaixo do plano z=1.
(a) Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas cartesianas.
(b) Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas polares.
(c) Calcule a área de S .

Passo 1

O enunciado dá a superfície S definida como a parte do paraboloide z=x^{2}+y^{2} que fica abaixo do plano z=1. As perguntas são:
  • (a) Obter uma parametrização para S usando coordenadas cartesianas.
  • (b) Obter uma parametrização para S usando coordenadas polares.
  • (c) Calcular a área de S.
Informações relevantes fornecidas ou imediatamente inferíveis:
  • A superfície é o gráfico de z=f(x,y)=x^{2}+y^{2} restrito à região onde z\le1.
  • A interseção com o plano z=1 é a curva dada por x^{2}+y^{2}=1, ou seja, um disco de raio 1 no plano xy.
  • Portanto o domínio de projeção no plano xy é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\}.

Passo 2

(a) Parametrização em coordenadas cartesianas — ideia e construção.
Quando temos uma superfície dada como gráfico de uma função z=f(x,y), a parametrização natural em coordenadas cartesianas é tomar os próprios x e y como parâmetros. Isso significa definir um mapeamento
\mathbf{r}(x,y) = \big(x,\;y,\;f(x,y)\big).
Aqui cada variável na parametrização corresponde a uma coordenada geométrica: x e y são as variáveis do plano, e f(x,y) dá a altura z.
Aplicando ao nosso caso com f(x,y)=x^{2}+y^{2}, uma parametrização cartesiana é
\mathbf{r}(x,y)=\big(x,\;y,\;x^{2}+y^{2}\big),
com domínio
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\}.
Isso responde (a).

Passo 3

Explicando como usar essa parametrização para calcular área: definição e cálculo dos vetores tangentes.
Dada uma parametrização \mathbf{r}(u,v) de uma superfície, os vetores tangentes são as derivadas parciais \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v. A área da superfície é dada por
\text{Área}(S)=\iint_{D}\big\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\|\,dA,Á
onde D é o domínio dos parâmetros (u,v). No caso de gráfico z=f(x,y) com parâmetros x,y essa fórmula é equivalente à fórmula mais conhecida
\text{Área}(S)=\iint_{D}\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}\;dA,Á
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f. Aqui explico por que: para \mathbf{r}(x,y)=(x,y,f(x,y)) temos
\mathbf{r}_x=(1,0,f_x),\qquad \mathbf{r}_y=(0,1,f_y),
e
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y=( -f_x,\;-f_y,\;1)
ou (mudando sinais conforme ordem) um vetor cuja norma é \sqrt{f_x^{2}+f_y^{2}+1}. Portanto as duas fórmulas coincidem. Aqui cada símbolo significa:
  • f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x} e f_y=\dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • dA é o elemento de área no domínio do parâmetro (aqui o elemento de área no plano xy).

Passo 4

Aplicação ao nosso f(x,y)=x^{2}+y^{2}: cálculo das derivadas parciais e do fator de área.
Calcule f_x e f_y:
f_x=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x,\qquad f_y=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y.
Logo o fator sob a raiz na fórmula da área é
\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}=\sqrt{1+(2x)^{2}+(2y)^{2}}=\sqrt{1+4(x^{2}+y^{2})}.
Portanto a área é
\text{Área}(S)=\iint_{D}\sqrt{1+4(x^{2}+y^{2})}\;dA,Á
onde D é o disco x^{2}+y^{2}\le1.

Passo 5

(b) Parametrização em coordenadas polares — construção e domínio.
Para regiões circulares é muito conveniente usar coordenadas polares no plano xy:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
com r\ge0 e \theta angular. Substituindo na parametrização do gráfico obtemos
\mathbf{R}(r,\theta)=\big(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r^{2}\big).
O domínio correspondente é
0\le r\le1,\qquad 0\le\theta\le2\pi,
pois x^{2}+y^{2}=r^{2}\le1. Isso responde (b).

Passo 6

Verificação do elemento de área via produto vetorial em coordenadas polares (mostrando consistência).
Para aprender como o elemento de área aparece em polares, calcule as derivadas parciais:
\mathbf{R}_r=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;2r),\qquad \mathbf{R}_\theta=(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0).
O produto vetorial é
\mathbf{R}_r\times\mathbf{R}_\theta = \big(-2r^{2}\cos\theta,\; -2r^{2}\sin\theta,\; r\big).
A norma disso é
\big\|\mathbf{R}_r\times\mathbf{R}_\theta\big\|=\sqrt{4r^{4}\cos^{2}\theta+4r^{4}\sin^{2}\theta+r^{2}} = \sqrt{4r^{4}+r^{2}}=r\sqrt{1+4r^{2}}.
Portanto o elemento de área em polares é \big\|\mathbf{R}_r\times\mathbf{R}_\theta\big\|\,dr\,d\theta = r\sqrt{1+4r^{2}}\,dr\,d\theta. Note que isso coincide com substituir x^{2}+y^{2}=r^{2} na expressão \sqrt{1+4(x^{2}+y^{2})} e multiplicar pelo jacobiano r do mudança para polares.

Passo 7

(c) Cálculo da área usando a parametrização polar — integral e antiderivada.
Montamos a integral para a área:
\text{Área}(S)=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\sqrt{1+4r^{2}}\;dr\,d\theta.Á
Vamos calcular a integral interna em r. Faça a substituição
u=1+4r^{2}\quad\Rightarrow\quad du=8r\,dr\quad\Rightarrow\quad r\,dr=\dfrac{du}{8}.
Os limites em r: quando r=0 tem u=1; quando r=1 tem u=5. Assim
\int_{0}^{1} r\sqrt{1+4r^{2}}\;dr = \int_{u=1}^{5} \sqrt{u}\,\dfrac{du}{8} = \dfrac{1}{8}\int_{1}^{5} u^{1/2}\,du.
Calcule a antiderivada:
\int u^{1/2}\,du = \dfrac{2}{3}u^{3/2},
portanto
\int_{0}^{1} r\sqrt{1+4r^{2}}\;dr = \dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{2}{3}\big[u^{3/2}\big]_{1}^{5} = \dfrac{1}{12}\big(5^{3/2}-1\big).
Agora integre em \theta de 0 a 2\pi:
\text{Área}(S)=\int_{0}^{2\pi}\left(\dfrac{1}{12}\big(5^{3/2}-1\big)\right)d\theta = \dfrac{1}{12}\big(5^{3/2}-1\big)\cdot 2\pi = \dfrac{\pi}{6}\big(5^{3/2}-1\big).Á
Podemos também escrever 5^{3/2}=5\sqrt{5}, então uma forma alternativa é
\text{Área}(S)=\dfrac{\pi}{6}\big(5\sqrt{5}-1\big).Á

Passo 8

Resumo final (breve checagem e interpretação).
  • As parametrizações nas partes (a) e (b) são as naturais: a cartesiana usa (x,y) no disco unitário e a polar usa (r,\theta) com 0\le r\le1, 0\le\theta\le2\pi.
  • O cálculo da área ficou simples ao passar para polares, porque a superfície é radialmente simétrica e a integral reduz-se a uma integral de uma variável que resolvemos por substituição.

Resposta

(a) \mathbf{r}(x,y)=\big(x,\;y,\;x^{2}+y^{2}\big),\quad (x,y)\in\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\}.
(b) \mathbf{R}(r,\theta)=\big(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r^{2}\big),\quad 0\le r\le1,\;0\le\theta\le2\pi.
(c) \displaystyle \text{Área}(S)=\dfrac{\pi}{6}\big(5\sqrt{5}-1\big).Á

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