Problema 5 (2 pontos): Sejam a um números real diferente de 1. Determine o seguinte limite:
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende a
, sabendo que
é um número real diferente de
:
Informações relevantes fornecidas:
- A variável que tende a
é . - O parâmetro
é um número real e satisfaz . - O numerador e o denominador são funções elementares envolvendo
(seno) e a exponencial. - O objetivo é calcular o valor numérico do limite em função de
(se depender) ou identificar um valor único.
Passo 2
Verificar o tipo de indeterminação ao substituir
:
Calcular o numerador em
:
Calcular o denominador em
:
Portanto a forma é
, uma indeterminação clássica. Isso permite usar técnicas como a Regra de l’Hôpital ou expansões em séries de Taylor. Vou usar a Regra de l’Hôpital porque é direta e exige apenas derivação das funções que já conhecemos.
Passo 3
Explicar a Regra de l’Hôpital (versão prática que vamos usar):
Sejam
e
funções diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
), e se
e se o limite
existe (ou é
), então
Aqui
e
satisfazem as hipóteses locais (são diferenciáveis). Vamos aplicar.
Passo 4
Derivar numerador e denominador passo a passo, explicando as regras usadas.
Derivada do numerador:
- Derivada de
com respeito a é . - Derivada de
pelo teorema da cadeia: a derivada de é multiplicada por . Aqui e . Logo a derivada de é .
Assim
Derivada do denominador:
- Derivada de
pela cadeia: é . - Derivada de
é .
Logo
Passo 5
Aplicar l’Hôpital substituindo pelo quociente das derivadas e avaliar o limite:
Pelo passo anterior,
Agora avaliar em
(essas funções são contínuas em
, então podemos substituir):
Avaliar o numerador em
:
Avaliar o denominador em
:
Portanto o limite vale
Passo 6
Simplificar a expressão encontrada:
porque o numerador é
. Note que essa simplificação é válida para todo
, que é exatamente a condição dada no enunciado.
Passo 7
Verificação alternativa (opcional, para fixar a intuição) usando expansões para pequenas
:
Para
pequeno:
logo o numerador é
.
E
logo o denominador é
.
Dividindo,
Isso confirma o resultado obtido por l’Hôpital.
Passo 8
Comentário final e ânimo: o limite não depende de
(desde que
) e é igual a
. Boa notícia: a conta ficou curta — a técnica certa (l’Hôpital) resolve isso rápido. Você tá indo bem!