Problema 5 (2 pontos): Sejam a um números real diferente de 1. Determine o seguinte limite:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x)-\operatorname{sen}(a x)}{e^{a x}-e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende a 0, sabendo que a é um número real diferente de 1:
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\operatorname{sen}(x)-\operatorname{sen}(a x)}{e^{a x}-e^{x}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável que tende a 0 é x.
  • O parâmetro a é um número real e satisfaz a\neq 1.
  • O numerador e o denominador são funções elementares envolvendo \operatorname{sen} (seno) e a exponencial.
  • O objetivo é calcular o valor numérico do limite em função de a (se depender) ou identificar um valor único.

Passo 2

Verificar o tipo de indeterminação ao substituir x=0:
Calcular o numerador em x=0:
\operatorname{sen}(0)-\operatorname{sen}(a\cdot 0)=0-0=0.
Calcular o denominador em x=0:
e^{a\cdot 0}-e^{0}=1-1=0.
Portanto a forma é 0/0, uma indeterminação clássica. Isso permite usar técnicas como a Regra de l’Hôpital ou expansões em séries de Taylor. Vou usar a Regra de l’Hôpital porque é direta e exige apenas derivação das funções que já conhecemos.

Passo 3

Explicar a Regra de l’Hôpital (versão prática que vamos usar):
Sejam f e g funções diferenciáveis numa vizinhança de 0 (exceto possivelmente em 0), e se
\lim_{x\to 0} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to 0} g(x)=0,
e se o limite
\lim_{x\to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui f(x)=\operatorname{sen}(x)-\operatorname{sen}(a x) e g(x)=e^{a x}-e^{x} satisfazem as hipóteses locais (são diferenciáveis). Vamos aplicar.

Passo 4

Derivar numerador e denominador passo a passo, explicando as regras usadas.
Derivada do numerador:
  • Derivada de \operatorname{sen}(x) com respeito a x é \cos(x).
  • Derivada de \operatorname{sen}(a x) pelo teorema da cadeia: a derivada de \operatorname{sen}(u) é \cos(u) multiplicada por u'. Aqui u=a x e u'=a. Logo a derivada de \operatorname{sen}(a x) é a\cos(a x).
Assim
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(x)-\operatorname{sen}(a x)\big)=\cos(x)-a\cos(a x).
Derivada do denominador:
  • Derivada de e^{a x} pela cadeia: é a e^{a x}.
  • Derivada de e^{x} é e^{x}.
Logo
\frac{d}{dx}\big(e^{a x}-e^{x}\big)=a e^{a x}-e^{x}.

Passo 5

Aplicar l’Hôpital substituindo pelo quociente das derivadas e avaliar o limite:
Pelo passo anterior,
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)-\operatorname{sen}(a x)}{e^{a x}-e^{x}} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-a\cos(a x)}{a e^{a x}-e^{x}}.
Agora avaliar em x=0 (essas funções são contínuas em 0, então podemos substituir):
Avaliar o numerador em 0:
\cos(0)-a\cos(a\cdot 0)=1-a\cdot 1=1-a.
Avaliar o denominador em 0:
a e^{a\cdot 0}-e^{0}=a\cdot 1-1=a-1.
Portanto o limite vale
\frac{1-a}{a-1}.

Passo 6

Simplificar a expressão encontrada:
\frac{1-a}{a-1} = -1,
porque o numerador é -(a-1). Note que essa simplificação é válida para todo a\neq 1, que é exatamente a condição dada no enunciado.

Passo 7

Verificação alternativa (opcional, para fixar a intuição) usando expansões para pequenas x:
Para x pequeno:
\operatorname{sen}(x)=x+O(x^{3}),\qquad \operatorname{sen}(a x)=a x+O(x^{3}),
logo o numerador é (1-a)x+O(x^{3}).
E
e^{a x}=1+a x+O(x^{2}),\qquad e^{x}=1+x+O(x^{2}),
logo o denominador é (a-1)x+O(x^{2}).
Dividindo,
\frac{(1-a)x+O(x^{3})}{(a-1)x+O(x^{2})} \longrightarrow \frac{1-a}{a-1}=-1.
Isso confirma o resultado obtido por l’Hôpital.

Passo 8

Comentário final e ânimo: o limite não depende de a (desde que a\neq 1) e é igual a -1. Boa notícia: a conta ficou curta — a técnica certa (l’Hôpital) resolve isso rápido. Você tá indo bem!

Resposta

-1

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