Calcule \iint_{S}\left(x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}\right) d S, onde S é a esfera unitária x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
2. Calcule \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d S, onde
\mathbf{F}(x, y, z)=y z \mathbf{i}+x z \mathbf{j}+x y \mathbf{k}
e S é o limite da região sólida E delimitada pelo paraboloide z=9-x^{2}-y^{2} e o plano z=0.
3. Use o Teorema de Stokes para calcular \iint_{S}(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} d S, onde
\mathbf{F}(x, y, z)=(3 x z, y z,-x y)
e S é a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=4 e acima do plano x y.
4. Calcule \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d S, onde
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(x+\sin (y)+z^{3}, \sin (x)+2 y, 3 z\right)
e S é a superfície da região T delimitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=9 e os planos z=-2 e $z=3.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido (vou listar cada item claramente):
  1. Calcular \iint_{S}\left(x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}\right) d S, onde S é a esfera unitária x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
    Dados: superfície S é a esfera de raio 1. Pergunta: valor da integral de superfície do escalar x^{2}+2y^{2}+3z^{2} sobre S.
  2. Calcular \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, d S, onde
\mathbf{F}(x,y,z)=y z\,\mathbf{i}+x z\,\mathbf{j}+x y\,\mathbf{k}
e S é o limite (fronteira) da região sólida E delimitada pelo paraboloide z=9-x^{2}-y^{2} e o plano z=0.
Dados: E é a região sólida entre z=0 e z=9-x^{2}-y^{2}. Pergunta: fluxo de \mathbf{F} através da superfície fechada S=\partial E.
  1. Usar o Teorema de Stokes para calcular \iint_{S}(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\, d S, onde
\mathbf{F}(x,y,z)=(3 x z,\; y z,\; -x y)
e S é a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=4 e acima do plano x y (isto é, acima do plano z=0).
Dados: superfície S é a porção da esfera de raio 3 com x^{2}+y^{2}\le 4 e z\ge 0. Pergunta: integral de superfície do rotacional de \mathbf{F} sobre S — usar Stokes.
  1. Calcular \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, d S, onde
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(x+\sin(y)+z^{3},\; \sin(x)+2y,\; 3z\bigr)
e S é a superfície da região T delimitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=9 e os planos z=-2 e z=3.
Dados: T é um cilindro fechado de raio 3 e altura 5 (de z=-2 até z=3). Pergunta: fluxo de \mathbf{F} através da superfície fechada de T.

Passo 2

Resolução do item 1 — entender a integral e a superfície, estratégia por simetria.
  • O integrando é o escalar x^{2}+2y^{2}+3z^{2} e S é a esfera de raio 1.
  • Observação importante que facilita muito os cálculos: na esfera unidade temos
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
  • Uma maneira muito prática é usar simetria: sobre a esfera, as integrais de x^{2}, y^{2} e z^{2} são iguais (pela simetria de rotações). Além disso,
\iint_{S} \bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dS=\iint_{S} 1\,dS,
porque em cada ponto da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1. A área da esfera unidade é \;4\pi.
  • Então somando as três integrais:
\iint_{S} x^{2}\,dS+\iint_{S} y^{2}\,dS+\iint_{S} z^{2}\,dS = 4\pi.
Pela simetria cada uma vale \dfrac{4\pi}{3}. Ou seja,
\iint_{S} x^{2}\,dS = \iint_{S} y^{2}\,dS = \iint_{S} z^{2}\,dS = \frac{4\pi}{3}.
  • Agora usamos isso para a integral pedida:
\iint_{S}\bigl(x^{2}+2y^{2}+3z^{2}\bigr)\,dS = \iint_{S} x^{2}\,dS + 2\iint_{S} y^{2}\,dS + 3\iint_{S} z^{2}\,dS.
Substituindo cada integral por \dfrac{4\pi}{3}:
= \left(1+2+3\right)\frac{4\pi}{3} = 6\cdot\frac{4\pi}{3} = 8\pi.

Passo 3

Comentário didático (curto) sobre por que a simetria funcionou: a esfera é invariante por rotações; não há preferência por x,y ou z, então as médias (e integrais) de x^{2},y^{2},z^{2} sobre a esfera são iguais. Outra forma seria parametrizar por coordenadas esféricas: \;x=\sin\varphi\cos\theta,\; y=\sin\varphi\sin\theta,\; z=\cos\varphi, dS=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta com R=1 e checar que dá o mesmo resultado.

Passo 4

Resolução do item 2 — usar o Teorema da Divergência (Gauss).
  • Relembre (em palavras simples): o Teorema da Divergência diz que, para uma região sólida E com fronteira fechada S=\partial E com normal exterior \mathbf{n},
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{E} \nabla\cdot\mathbf{F}\, dV.
Aqui \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência de \mathbf{F}.
  • Calculamos a divergência de \mathbf{F}(x,y,z)=y z\,\mathbf{i}+x z\,\mathbf{j}+x y\,\mathbf{k}:
\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(y z) + \frac{\partial}{\partial y}(x z) + \frac{\partial}{\partial z}(x y).
Cada termo é zero porque, por exemplo, \partial (y z)/\partial x=0, etc. Então
\nabla\cdot\mathbf{F}=0.
  • Aplicando o Teorema da Divergência:
\iint_{S} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_{E} 0\, dV = 0.
  • Intuição: o campo não tem “fonte” nem “sumidouro” dentro da região E, então o fluxo total através da superfície fechada é zero.

Passo 5

Resolução do item 3 — usar o Teorema de Stokes.
  • Primeiro escrevo o rotacional de \mathbf{F}. Para
    \mathbf{F}=(3xz,\; yz,\; -xy),
\nabla\times\mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\[4pt] 3xz & yz & -xy \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
(\nabla\times\mathbf{F})_1 = \frac{\partial}{\partial y}(-xy)-\frac{\partial}{\partial z}(yz) = -x - y,
(\nabla\times\mathbf{F})_2 = \frac{\partial}{\partial z}(3xz)-\frac{\partial}{\partial x}(-xy) = 3x + y,
(\nabla\times\mathbf{F})_3 = \frac{\partial}{\partial x}(yz)-\frac{\partial}{\partial y}(3xz) = 0.
Logo
\nabla\times\mathbf{F}=(-x-y,\; 3x+y,\; 0).]

Passo 6

Aplicação do Teorema de Stokes e escolha da curva de bordo.
  • O Teorema de Stokes diz que, para uma superfície orientada S com bordo C=\partial S,
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS = \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
onde a orientação de C é dada pela regra da mão direita em relação ao vetor normal escolhido.
  • Aqui S é a porção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 com x^{2}+y^{2}\le 4 e z\ge 0. O bordo C é a interseção da esfera com o cilindro x^{2}+y^{2}=4. Em coordenadas, C é o círculo
x^{2}+y^{2}=4,\qquad z=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}.
  • A normal natural da superfície (a normal externa à esfera) tem componente z>0 nessa porção; assim a orientação do bordo C será anti-horária (no sentido positivo) quando vista do lado de cima — isto é, a parametrização x=2\cos t,\; y=2\sin t com t de 0 a 2\pi tem a orientação correta.

Passo 7

Parametrizar a curva C e calcular a integral de linha.
  • Parametrização escolhida:
\mathbf{r}(t) = \bigl(2\cos t,\; 2\sin t,\; \sqrt{5}\bigr),\qquad 0\le t\le 2\pi.
  • Derivada:
\mathbf{r}'(t)=\bigl(-2\sin t,\; 2\cos t,\; 0\bigr).
  • Avaliando \mathbf{F} ao longo de C:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = \bigl(3x z,\; y z,\; -x y\bigr) = \bigl(3\cdot(2\cos t)\cdot\sqrt{5},\; (2\sin t)\cdot\sqrt{5},\; - (2\cos t)(2\sin t)\bigr).
Ou seja,
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = \bigl(6\sqrt{5}\cos t,\; 2\sqrt{5}\sin t,\; -4\cos t\sin t\bigr).
  • Produto escalar \mathbf{F}\cdot\mathbf{r}':
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) = 6\sqrt{5}\cos t\cdot(-2\sin t) + 2\sqrt{5}\sin t\cdot(2\cos t) + (-4\cos t\sin t)\cdot 0.
Simplificando os dois primeiros termos:
= -12\sqrt{5}\cos t\sin t + 4\sqrt{5}\sin t\cos t = -8\sqrt{5}\cos t\sin t.
Usando \sin(2t)=2\sin t\cos t, fica
\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}'(t) = -4\sqrt{5}\sin(2t).

Passo 8

Avaliar a integral de 0 a 2\pi.
  • A integral de linha é
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{2\pi} -4\sqrt{5}\sin(2t)\, dt.
  • Sabendo que a integral de \sin(2t) num período completo é zero:
\int_{0}^{2\pi} \sin(2t)\,dt = 0,
temos
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 0.
  • Pelo Teorema de Stokes:
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS = 0.

Passo 9

Comentário intuitivo (curto) sobre o resultado do item 3: muitas vezes o rotacional tem componentes que fazem a integral ao longo de curvas fechadas cancelarem por simetria (a função seno com período inteiro aqui), levando a valor zero — foi o caso.

Passo 10

Resolução do item 4 — usar o Teorema da Divergência novamente.
  • A região T é um cilindro circular de raio 3 cujo eixo é o eixo z, limitado pelos planos z=-2 e z=3. A superfície S é a superfície fechada que envolve esse sólido (base inferior, base superior e cilindro lateral).
  • Calculamos a divergência de \mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(x+\sin(y)+z^{3},\; \sin(x)+2y,\; 3z\bigr):
\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x+\sin y+z^{3}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(\sin x+2y\bigr) + \frac{\partial}{\partial z}\bigl(3z\bigr).
  • Derivando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}(x+\sin y+z^{3}) = 1, \qquad \frac{\partial}{\partial y}(\sin x+2y)=2, \qquad \frac{\partial}{\partial z}(3z)=3.
Logo
\nabla\cdot\mathbf{F}=1+2+3=6.

Passo 11

Calcular o volume de T e a integral tripla.
  • Pelo Teorema da Divergência:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_{T} \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV = \iiint_{T} 6\, dV = 6\cdot \operatorname{Vol}(T).
  • O volume de um cilindro de raio 3 e altura h (aqui h=3-(-2)=5) é
\operatorname{Vol}(T)=\pi r^{2} h = \pi\cdot 3^{2}\cdot 5 = 9\pi\cdot 5 =45\pi.
  • Portanto o fluxo é
6\cdot 45\pi = 270\pi.

Resposta

  1. \;8\pi
  2. \;0
  3. \;0
  4. \;270\pi

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