Calcule \iint_{S}\left(x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}\right) d S, onde S é a esfera unitária x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
2. Calcule \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d S, onde
\mathbf{F}(x, y, z)=y z \mathbf{i}+x z \mathbf{j}+x y \mathbf{k}
e S é o limite da região sólida E delimitada pelo paraboloide z=9-x^{2}-y^{2} e o plano z=0.
3. Use o Teorema de Stokes para calcular \iint_{S}(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} d S, onde
\mathbf{F}(x, y, z)=(3 x z, y z,-x y)
e S é a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=4 e acima do plano x y.
4. Calcule \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d S, onde
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(x+\sin (y)+z^{3}, \sin (x)+2 y, 3 z\right)
e S é a superfície da região T delimitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=9 e os planos z=-2 e $z=3.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido (vou listar cada item claramente):
Calcular \iint_{S}\left(x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}\right) d S, onde S é a esfera unitária x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
Dados: superfície S é a esfera de raio 1. Pergunta: valor da integral de superfície do escalar x^{2}+2y^{2}+3z^{2} sobre S.
Calcular \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, d S, onde
e S é o limite (fronteira) da região sólida E delimitada pelo paraboloide z=9-x^{2}-y^{2} e o plano z=0.
Dados: E é a região sólida entre z=0 e z=9-x^{2}-y^{2}. Pergunta: fluxo de \mathbf{F} através da superfície fechada S=\partial E.
Usar o Teorema de Stokes para calcular \iint_{S}(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\, d S, onde
\mathbf{F}(x,y,z)=(3 x z,\; y z,\; -x y)
e S é a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=4 e acima do plano x y (isto é, acima do plano z=0).
Dados: superfície S é a porção da esfera de raio 3 com x^{2}+y^{2}\le 4 e z\ge 0. Pergunta: integral de superfície do rotacional de \mathbf{F} sobre S — usar Stokes.
Calcular \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, d S, onde
e S é a superfície da região T delimitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=9 e os planos z=-2 e z=3.
Dados: T é um cilindro fechado de raio 3 e altura 5 (de z=-2 até z=3). Pergunta: fluxo de \mathbf{F} através da superfície fechada de T.
Passo 2
Resolução do item 1 — entender a integral e a superfície, estratégia por simetria.
O integrando é o escalar x^{2}+2y^{2}+3z^{2} e S é a esfera de raio 1.
Observação importante que facilita muito os cálculos: na esfera unidade temos
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
Uma maneira muito prática é usar simetria: sobre a esfera, as integrais de x^{2}, y^{2} e z^{2} são iguais (pela simetria de rotações). Além disso,
Comentário didático (curto) sobre por que a simetria funcionou: a esfera é invariante por rotações; não há preferência por x,y ou z, então as médias (e integrais) de x^{2},y^{2},z^{2} sobre a esfera são iguais. Outra forma seria parametrizar por coordenadas esféricas: \;x=\sin\varphi\cos\theta,\; y=\sin\varphi\sin\theta,\; z=\cos\varphi, dS=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta com R=1 e checar que dá o mesmo resultado.
Passo 4
Resolução do item 2 — usar o Teorema da Divergência (Gauss).
Relembre (em palavras simples): o Teorema da Divergência diz que, para uma região sólida E com fronteira fechada S=\partial E com normal exterior \mathbf{n},
onde a orientação de C é dada pela regra da mão direita em relação ao vetor normal escolhido.
Aqui S é a porção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 com x^{2}+y^{2}\le 4 e z\ge 0. O bordo C é a interseção da esfera com o cilindro x^{2}+y^{2}=4. Em coordenadas, C é o círculo
x^{2}+y^{2}=4,\qquad z=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}.
A normal natural da superfície (a normal externa à esfera) tem componente z>0 nessa porção; assim a orientação do bordo C será anti-horária (no sentido positivo) quando vista do lado de cima — isto é, a parametrização x=2\cos t,\; y=2\sin t com t de 0 a 2\pi tem a orientação correta.
Passo 7
Parametrizar a curva C e calcular a integral de linha.
Comentário intuitivo (curto) sobre o resultado do item 3: muitas vezes o rotacional tem componentes que fazem a integral ao longo de curvas fechadas cancelarem por simetria (a função seno com período inteiro aqui), levando a valor zero — foi o caso.
Passo 10
Resolução do item 4 — usar o Teorema da Divergência novamente.
A região T é um cilindro circular de raio 3 cujo eixo é o eixo z, limitado pelos planos z=-2 e z=3. A superfície S é a superfície fechada que envolve esse sólido (base inferior, base superior e cilindro lateral).
Calculamos a divergência de \mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(x+\sin(y)+z^{3},\; \sin(x)+2y,\; 3z\bigr):