Encontre a solução geral do sistema de equações dado
\mathbf{x}^{\prime}=\left( \begin{array}{ll}2 & -1 \\ 3 & -2\end{array}\right) \mathbf{x}\

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear a seguir:
\mathbf{x}'=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] 3 & -2\end{pmatrix}\mathbf{x}.
Informações dadas:
A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] 3 & -2\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1(t)\\[4pt] x_2(t)\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{x}'=\frac{d}{dt}\mathbf{x}.
O que se pede: encontrar a solução geral \mathbf{x}(t) do sistema (ou seja, a família de todas as soluções com constantes arbitrárias).]

Passo 2

Como eu vou resolver (explicando didaticamente): para sistemas lineares com coeficientes constantes, uma forma eficiente é procurar autovalores \lambda e autovetores \mathbf{v} de A. Por que isso funciona? Porque, se A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}, então
\frac{d}{dt}\bigl(e^{\lambda t}\mathbf{v}\bigr)=\lambda e^{\lambda t}\mathbf{v}=A\bigl(e^{\lambda t}\mathbf{v}\bigr),
ou seja, \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v} é solução do sistema. Se conseguirmos dois autovetores linearmente independentes em \mathbb{R}^2, a combinação linear deles gera a solução geral. Então o plano de ação: (1) achar os autovalores de A resolvendo \det(A-\lambda I)=0; (2) para cada \lambda achar um autovetor não nulo; (3) escrever a combinação linear com constantes arbitrárias.

Passo 3

Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I). Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & -1\\[4pt] 3 & -2-\lambda\end{pmatrix}.
Agora o determinante:
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-1)\cdot 3.
Faço a multiplicação com calma: (2-\lambda)(-2-\lambda)= -4 +\lambda^2 (explicando: 2\cdot(-2)=-4,\;2\cdot(-\lambda)=-2\lambda,\;(-\lambda)\cdot(-2)=+2\lambda,\;(-\lambda)(-\lambda)=\lambda^2, os termos -2\lambda e +2\lambda se cancelam). Então
\det(A-\lambda I)= -4+\lambda^2 +3=\lambda^2-1.]

Passo 4

Resolver o polinômio característico \lambda^2-1=0. Isso é fácil:
\lambda^2-1=(\lambda-1)(\lambda+1)=0,
portanto os autovalores são
\lambda_1=1,\qquad \lambda_2=-1.

Passo 5

Encontrar o autovetor para \lambda_1=1\). Resolvo \((A-I)\mathbf{v}=\mathbf{0}\). O matriz \(A-I\) é \[A-I=\begin{pmatrix}2-1 & -1\\[4pt] 3 & -2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 3 & -3\end{pmatrix}.
Escrevo o sistema linear equivalente para \mathbf{v}=(v_1,v_2)^T:
\begin{cases} v_1 - v_2 = 0,\\[4pt] 3v_1 - 3v_2 = 0. \end{cases}
As duas equações são equivalentes e dão v_1=v_2\]. Posso escolher um autovetor simples tomando \(v_1=1, então
\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}
é um autovetor associado a \lambda_1=1.]

Passo 6

Encontrar o autovetor para \lambda_2=-1\). Resolvo \((A+I)\mathbf{v}=\mathbf{0}\). A matriz \(A+I\) é \[A+I=\begin{pmatrix}2+1 & -1\\[4pt] 3 & -2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.
O sistema para \mathbf{v}=(v_1,v_2)^T é
\begin{cases} 3v_1 - v_2 = 0,\\[4pt] 3v_1 - v_2 = 0. \end{cases}
Dessa equação segue v_2=3v_1\]. Tomando \(v_1=1 obtemos um autovetor simples
\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 3\end{pmatrix}
associado a \lambda_2=-1.]

Passo 7

Verificar que os autovetores são linearmente independentes (importante para formar solução geral). Calculo o determinante da matriz formada por \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}=1\cdot 3 - 1\cdot 1=2\neq 0.
Como o determinante é não nulo, \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^2. Portanto a solução geral do sistema é a combinação linear dos dois vetores-solução e^{\lambda t}\mathbf{v}.]

Passo 8

Escrever a solução geral usando as constantes arbitrárias C_1 e C_2. Juntando tudo:
\mathbf{x}(t)=C_1 e^{\lambda_1 t}\mathbf{v}_1 + C_2 e^{\lambda_2 t}\mathbf{v}_2 = C_1 e^{t}\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix} + C_2 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt] 3\end{pmatrix},
onde C_1,C_2\in\mathbb{R} são constantes determinadas pelas condições iniciais (se houver).]

Resposta

\displaystyle \mathbf{x}(t)=C_{1}e^{t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}+C_{2}e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados