Encontre a solução geral do sistema de equações dado
\mathbf{x}^{\prime}=\left(
\right) \mathbf{x}\
\mathbf{x}^{\prime}=\left(
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema linear a seguir:
Informações dadas:
O que se pede: encontrar a solução geral
do sistema (ou seja, a família de todas as soluções com constantes arbitrárias).]
Passo 2
Como eu vou resolver (explicando didaticamente): para sistemas lineares com coeficientes constantes, uma forma eficiente é procurar autovalores
e autovetores
de
. Por que isso funciona? Porque, se
, então
ou seja,
é solução do sistema. Se conseguirmos dois autovetores linearmente independentes em
, a combinação linear deles gera a solução geral. Então o plano de ação: (1) achar os autovalores de
resolvendo
; (2) para cada
achar um autovetor não nulo; (3) escrever a combinação linear com constantes arbitrárias.
Passo 3
Calcular o polinômio característico
. Primeiro escrevo
:
Agora o determinante:
Faço a multiplicação com calma:
(explicando:
, os termos
e
se cancelam). Então
Passo 4
Resolver o polinômio característico
. Isso é fácil:
portanto os autovalores são
Passo 5
Encontrar o autovetor para
Escrevo o sistema linear equivalente para
:
As duas equações são equivalentes e dão
, então
é um autovetor associado a
.]
Passo 6
Encontrar o autovetor para
O sistema para
é
Dessa equação segue
obtemos um autovetor simples
associado a
.]
Passo 7
Verificar que os autovetores são linearmente independentes (importante para formar solução geral). Calculo o determinante da matriz formada por
e
:
Como o determinante é não nulo,
e
são linearmente independentes e formam uma base de
. Portanto a solução geral do sistema é a combinação linear dos dois vetores-solução
.]
Passo 8
Escrever a solução geral usando as constantes arbitrárias
e
. Juntando tudo:
onde
são constantes determinadas pelas condições iniciais (se houver).]