Calcule \int_{C}(x+y) d s, onde C é a circunferência (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=25.
2. Calcule \int_{C} x^{2} d x+y^{2} d y+z^{2} d z, onde C consiste no segmento que liga o ponto ( 1,2,3 ) ao ponto ( 5,4,7 ).
3. Calcule \oint_{C}\left\{[\sin (x)+3 y] d x+\left[e^{y^{2}}+2 x\right] d y\right\} ao longo do retângulo de vértices (1,2),(5,2),(5,3) e (1,3), no sentido anti-horário.
4. Calcule \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde \mathbf{F}(x, y, z)=\left(e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}} x, e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}} y, e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}} z\right) e C é a curva dada por
x=\sqrt{t}, \quad y=t, \quad z=t^{2}, \quad 0 \leq t \leq 2
  1. Seja \mathbf{F}(x, y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right).
    (a) Mostre que \nabla \times \mathbf{F}=0 em qualquer região que não contenha a origem.
    (b) Calcule \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} onde C é qualquer curva fechada simples, suave por partes, que circunda a origem.
    (c) Explique por que \mathbf{F} não é conservativo em regiões que contêm a origem.

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado pede e quais são os dados em cada item, para não nos perdermos depois. Eu sei que está tenso, mas calma — vamos passo a passo.
  1. Calcular \displaystyle \int_{C}(x+y)\,d s, onde C é a circunferência (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=25.
    • Dados: centro em (3,-4), raio 5. Queremos a integral de uma função escalar multiplicada por d s (comprimento de arco).
  2. Calcular \displaystyle \int_{C} x^{2}\,d x+y^{2}\,d y+z^{2}\,d z, onde C é o segmento de reta que liga (1,2,3) a (5,4,7).
    • Dados: segmento reto entre os dois pontos.
  3. Calcular \displaystyle \oint_{C}\left\{[\sin (x)+3 y]\, d x+\left[e^{y^{2}}+2 x\right]\, d y\right\} ao longo do retângulo com vértices (1,2),(5,2),(5,3),(1,3), sentido anti-horário.
    • Dados: campo bidimensional com P(x,y)=\sin x +3y e Q(x,y)=e^{y^{2}}+2x. Curva fechada retângulo.
  4. Calcular \displaystyle \int_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} com \mathbf{F}(x,y,z)=\big(e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}x,\; e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}y,\; e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}z\big) e curva dada por x=\sqrt{t},\; y=t,\; z=t^{2},\; 0\le t\le2.
    • Dados: parametrização explícita de C.
  5. Seja \mathbf{F}(x,y)=\displaystyle\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\;\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right).
    (a) Mostrar que \nabla\times\mathbf{F}=0 em qualquer região que não contenha a origem.
    (b) Calcular \displaystyle \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} onde C é qualquer curva fechada simples suave por partes que circunda a origem.
    (c) Explicar por que \mathbf{F} não é conservativo em regiões que contêm a origem.
A partir daqui vamos resolver cada item com calma, mostrando toda a teoria usada e cada conta.

Passo 2

Resolvendo o item 1. Primeiro escolhemos uma parametrização conveniente da circunferência e explico por quê.
  • Parametrização padrão de uma circunferência centrada em (3,-4) e raio 5 é
x(t)=3+5\cos t,\qquad y(t)=-4+5\sin t,\qquad 0\le t\le 2\pi.
  • Por que isso funciona? Porque (x-3)=5\cos t e (y+4)=5\sin t satisfazem (x-3)^2+(y+4)^2=25 automaticamente — é a parametrização por ângulo.

Passo 3

Continuando item 1: calcular d s e montar a integral.
  • Derivadas: x'(t)=-5\sin t,\; y'(t)=5\cos t.
  • Comprimento elementar:
d s=\sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}}\,dt=\sqrt{25\sin^{2}t+25\cos^{2}t}\,dt=5\,dt.
  • O integrando x+y em função de t:
x+y=(3+5\cos t)+(-4+5\sin t)=-1+5(\cos t+\sin t).
  • Produto integrando \times d s:
(x+y)\,d s=\big(-1+5(\cos t+\sin t)\big)\cdot 5\,dt=\big(-5+25\cos t+25\sin t\big)\,dt.

Passo 4

Ainda item 1: integrar de 0 a 2\pi.
  • Integramos termo a termo:
\int_{0}^{2\pi}(-5)\,dt=-5\cdot 2\pi=-10\pi,
\int_{0}^{2\pi}25\cos t\,dt=25\big[\sin t\big]_{0}^{2\pi}=0,
\int_{0}^{2\pi}25\sin t\,dt=25\big[-\cos t\big]_{0}^{2\pi}=0.
  • Somando:
\int_{C}(x+y)\,d s=-10\pi.

Passo 5

Resolvendo o item 2. Vou usar a observação que torna isso muito curto: se um campo de 3 componentes é (x^{2},y^{2},z^{2}), ele é gradiente de uma função potencial simples?
  • Teste: a função \varphi(x,y,z)=\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{1}{3}y^{3}+\dfrac{1}{3}z^{3} tem gradiente
\nabla\varphi=(x^{2},y^{2},z^{2}),
pois \partial\varphi/\partial x = x^{2}, etc. Logo o campo é conservativo em qualquer região de \mathbb{R}^{3} (está bem definido e suave).

Passo 6

Com o item 2 reconhecido como integral de um campo conservativo, calculamos a integral entre os pontos só avaliando \varphi nos extremos.
  • Ponto inicial A=(1,2,3), ponto final B=(5,4,7).
  • Integral de linha ao longo de qualquer curva de A a B:
\int_{C} x^{2}\,dx+y^{2}\,dy+z^{2}\,dz=\varphi(B)-\varphi(A).
  • Calcular \varphi nos pontos:
\varphi(B)=\tfrac{1}{3}(5^{3}+4^{3}+7^{3})=\tfrac{1}{3}(125+64+343)=\tfrac{1}{3}\cdot 532=\tfrac{532}{3},
\varphi(A)=\tfrac{1}{3}(1^{3}+2^{3}+3^{3})=\tfrac{1}{3}(1+8+27)=\tfrac{36}{3}=12.
  • Diferença:
\varphi(B)-\varphi(A)=\tfrac{532}{3}-12=\tfrac{532-36}{3}=\tfrac{496}{3}.
(Fiz as contas passo a passo para você poder copiar fácil na prova.)

Passo 7

Resolvendo o item 3. Aqui é ideal usar o Teorema de Green (no plano) porque nos dá uma integral dupla sobre a região interior do retângulo, e evita ficar somando quatro integrais de arestas. Vou explicar o teorema e aplicar.
  • Teorema de Green (forma usada): se P(x,y) e Q(x,y) têm derivadas parciais contínuas em um domínio que contém a região D e sua fronteira C (orientada positivamente, ou seja anti-horário), então
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
  • No nosso caso: P(x,y)=\sin x +3y, Q(x,y)=e^{y^{2}}+2x. Ambas são suaves na região do retângulo.

Passo 8

Calcular a integranda e a integral dupla para o item 3.
  • Derivadas:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{y^{2}}+2x\big)=2,
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(\sin x+3y\big)=3.
  • Logo
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2-3=-1.
  • A região D é o retângulo com 1\le x\le 5 e 2\le y\le 3. A área é (5-1)\times(3-2)=4\cdot 1=4.
  • Portanto
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}(-1)\,dA=-1\cdot \text{Area}(D)=-1\cdot 4=-4.

Passo 9

Resolvendo o item 4. Vamos calcular \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} usando diretamente a parametrização dada. Sempre que tivermos \int \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt, o plano é substituir e integrar em t. Vou mostrar cada passo e uma observação esperta que simplifica a integral.
  • Parametrização: \mathbf{r}(t)=\big(\sqrt{t},\; t,\; t^{2}\big), 0\le t\le 2.
  • Derivada:
\mathbf{r}'(t)=\left(\frac{1}{2\sqrt{t}},\; 1,\; 2t\right).
Obs.: embora a derivada da primeira componente seja singular em t=0, a combinação que aparece no produto escalar é regular, como você verá — nada de pânico.

Passo 10

Ainda item 4: calcular \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) e o produto escalar.
  • Primeiro, x^{2}+y^{2}+z^{2}=t+t^{2}+t^{4}. Então
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=e^{t+t^{2}+t^{4}}\big(\sqrt{t},\; t,\; t^{2}\big).
  • Produto escalar com \mathbf{r}'(t):
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) =e^{t+t^{2}+t^{4}}\Big(\sqrt{t}\cdot\frac{1}{2\sqrt{t}}+t\cdot 1+t^{2}\cdot 2t\Big).
  • Simplificando o parêntese (a parte sem o exponencial):
\sqrt{t}\cdot\frac{1}{2\sqrt{t}}=\frac{1}{2},\qquad t\cdot 1=t,\qquad t^{2}\cdot 2t=2t^{3}.
Logo
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=e^{t+t^{2}+t^{4}}\Big(\frac{1}{2}+t+2t^{3}\Big).

Passo 11

Ainda item 4: notar uma derivada exata que facilita a integral.
  • Defina \varphi(t)=t+t^{2}+t^{4}. Então \varphi'(t)=1+2t+4t^{3}. Observe que
\frac{1}{2}\varphi'(t)=\frac{1}{2}+t+2t^{3}.
  • Portanto o integrando é
e^{\varphi(t)}\Big(\frac{1}{2}+t+2t^{3}\Big)=\frac{1}{2}e^{\varphi(t)}\varphi'(t)=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\big(e^{\varphi(t)}\big).
  • Isso é lindo porque reduz a integral a uma primitiva imediata.

Passo 12

Concluir o cálculo do item 4 usando a observação anterior.
  • Integral:
\int_{0}^{2}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\frac{d}{dt}\big(e^{\varphi(t)}\big)\,dt =\frac{1}{2}\big(e^{\varphi(2)}-e^{\varphi(0)}\big).
  • Calcular \varphi(2)=2+2^{2}+2^{4}=2+4+16=22 e \varphi(0)=0. Logo
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\frac{1}{2}\big(e^{22}-1\big).

Passo 13

Agora o item 5(a). Precisamos calcular o rotor (curl) no plano: para um campo \mathbf{F}=(P,Q) em 2D, o “rotor” (o escalar que corresponde à componente k do curl 3D) é \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}. Vou calcular isso e mostrar que dá zero para todo ponto onde x^{2}+y^{2}\neq 0.
  • P(x,y)=-\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}},\qquad Q(x,y)=\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 14

Cálculo explícito do item 5(a). Vou usar regra do quociente com cuidado. Coloco r^{2}=x^{2}+y^{2} para simplificar a escrita; lembre que aqui r^{2}>0 (ou seja, estamos fora da origem).
  • Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x}:
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r^{2}}\right) =\frac{1\cdot r^{2}-x\cdot 2x}{r^{4}}=\frac{r^{2}-2x^{2}}{r^{4}}.
  • Calcular \dfrac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{y}{r^{2}}\right) =\frac{-1\cdot r^{2}-(-y)\cdot 2y}{r^{4}}=\frac{-r^{2}+2y^{2}}{r^{4}}.
  • Subtrair:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{r^{2}-2x^{2}-(-r^{2}+2y^{2})}{r^{4}} =\frac{2r^{2}-2(x^{2}+y^{2})}{r^{4}}=0.
  • Conclusão: \nabla\times\mathbf{F}=0 em todo ponto com x^{2}+y^{2}\neq 0. (Prontinho.)

Passo 15

Item 5(b). Calcular \displaystyle \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} quando C é uma curva fechada simples que circunda a origem. Vou mostrar o caso mais simples (um círculo centrado na origem) e usar que qualquer curva simples que rode a origem uma vez (com orientação anti-horária) tem o mesmo valor por homotopia preservando a origem fora — explicar isso em seguida.
  • Parametrizamos um círculo de raio a>0 centrado na origem: x=a\cos t,\; y=a\sin t,\; 0\le t\le 2\pi.
  • Então dx=-a\sin t\,dt,\; dy=a\cos t\,dt.
  • Substituindo em \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=P\,dx+Q\,dy:
P\,dx+Q\,dy =\left(-\frac{a\sin t}{a^{2}}\right)(-a\sin t\,dt) +\left(\frac{a\cos t}{a^{2}}\right)(a\cos t\,dt).
  • Simplificando:
P\,dx+Q\,dy=(\sin^{2}t+\cos^{2}t)\,dt=1\,dt.
  • Integrando t de 0 a 2\pi:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{2\pi}1\,dt=2\pi.

Passo 16

Ainda item 5(b): por que o resultado para um círculo vale para qualquer curva simples que rode a origem? Explicação curta e prática.
  • O campo \mathbf{F} é definido e tem \nabla\times\mathbf{F}=0 em \mathbb{R}^{2}\setminus\{0\}. Porém, o domínio \mathbb{R}^{2}\setminus\{0\} não é simplesmente conexo: existem laços que não se podem contrair a um ponto sem cruzar a origem. Se tivermos duas curvas fechadas que rodeiam a origem com o mesmo índice de giro (winding number) em torno da origem, podemos deformar uma na outra sem cruzar a origem, e a integral de linha, sendo localmente dependente apenas da classe de homotopia, mantém o mesmo valor. Em particular, qualquer curva simples que circunda a origem uma vez, com orientação anti-horária, tem integral 2\pi.
  • Se a curva circunda a origem n vezes (índice n), o valor será 2\pi n. Se a orientação for horária, o sinal muda para -2\pi n.

Passo 17

Item 5(c): explicar por que \mathbf{F} não é conservativo em regiões que contêm a origem. Vou dar a explicação conceitual e uma prova curta por contradição usando o resultado do item (b).
  • Lembre: um campo vetorial é conservativo numa região se existe uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\mathbf{F} em toda a região. Uma consequência básica é que a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada dentro da região deve ser zero (porque \oint \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}=0).
  • Mas do item (b) vimos que há curvas fechadas no plano que rodeiam a origem onde \oint \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=2\pi\neq 0. Logo não existe função potencial definida em toda região que contenha essa curva (ou seja, em qualquer região que contenha a origem), porque isso contradizeria a propriedade de conservatividade.
  • Intuição alternativa: a componente angular do campo se comporta como 1/r em torno da origem, e o potencial “angular” \theta (o ângulo polar) seria múltipla de \theta, que é função multivalorada — não se consegue definir um \varphi contínuo e único ao redor de todo um laço envolvendo a origem.

Resposta

\displaystyle -10\pi
\displaystyle \frac{496}{3}
\displaystyle -4
\displaystyle \tfrac{1}{2}\big(e^{22}-1\big)
(a) \displaystyle \nabla\times\mathbf{F}=0 em \mathbb{R}^{2}\setminus\{0\}.
(b) \displaystyle \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=2\pi (para uma volta anti-horária; em geral 2\pi n com n o índice de volta).
(c) \mathbf{F} não é conservativo em regiões que contêm a origem porque existem curvas fechadas em tais regiões com integral de linha diferente de zero (por exemplo 2\pi), logo não existe um potencial global definido nessas regiões.

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