Calcule
, onde
é a circunferência
.
2. Calcule
, onde
consiste no segmento que liga o ponto (
) ao ponto (
).
3. Calcule
ao longo do retângulo de vértices
e
, no sentido anti-horário.
4. Calcule
, onde
e
é a curva dada por
- Seja
.
(a) Mostre que
em qualquer região que não contenha a origem.
(b) Calcule
onde
é qualquer curva fechada simples, suave por partes, que circunda a origem.
(c) Explique por que
não é conservativo em regiões que contêm a origem.
2. Calcule
3. Calcule
4. Calcule
(a) Mostre que
(b) Calcule
(c) Explique por que
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado pede e quais são os dados em cada item, para não nos perdermos depois. Eu sei que está tenso, mas calma — vamos passo a passo.
-
Calcular
, onde é a circunferência . - Dados: centro em
, raio . Queremos a integral de uma função escalar multiplicada por (comprimento de arco).
- Dados: centro em
-
Calcular
, onde é o segmento de reta que liga a . - Dados: segmento reto entre os dois pontos.
-
Calcular
ao longo do retângulo com vértices , sentido anti-horário. - Dados: campo bidimensional com
e . Curva fechada retângulo.
- Dados: campo bidimensional com
-
Calcular
com e curva dada por . - Dados: parametrização explícita de
.
- Dados: parametrização explícita de
-
Seja
.
(a) Mostrar queem qualquer região que não contenha a origem.
(b) Calcularonde é qualquer curva fechada simples suave por partes que circunda a origem.
(c) Explicar por quenão é conservativo em regiões que contêm a origem.
A partir daqui vamos resolver cada item com calma, mostrando toda a teoria usada e cada conta.
Passo 2
Resolvendo o item 1. Primeiro escolhemos uma parametrização conveniente da circunferência e explico por quê.
- Parametrização padrão de uma circunferência centrada em
e raio é
- Por que isso funciona? Porque
e satisfazem automaticamente — é a parametrização por ângulo.
Passo 3
Continuando item 1: calcular
e montar a integral.
- Derivadas:
. - Comprimento elementar:
- O integrando
em função de :
- Produto integrando
:
Passo 4
Ainda item 1: integrar de
a
.
- Integramos termo a termo:
- Somando:
Passo 5
Resolvendo o item 2. Vou usar a observação que torna isso muito curto: se um campo de 3 componentes é
, ele é gradiente de uma função potencial simples?
- Teste: a função
tem gradiente
pois
, etc. Logo o campo é conservativo em qualquer região de
(está bem definido e suave).
Passo 6
Com o item 2 reconhecido como integral de um campo conservativo, calculamos a integral entre os pontos só avaliando
nos extremos.
- Ponto inicial
, ponto final . - Integral de linha ao longo de qualquer curva de
a :
- Calcular
nos pontos:
- Diferença:
(Fiz as contas passo a passo para você poder copiar fácil na prova.)
Passo 7
Resolvendo o item 3. Aqui é ideal usar o Teorema de Green (no plano) porque nos dá uma integral dupla sobre a região interior do retângulo, e evita ficar somando quatro integrais de arestas. Vou explicar o teorema e aplicar.
- Teorema de Green (forma usada): se
e têm derivadas parciais contínuas em um domínio que contém a região e sua fronteira (orientada positivamente, ou seja anti-horário), então
- No nosso caso:
, . Ambas são suaves na região do retângulo.
Passo 8
Calcular a integranda e a integral dupla para o item 3.
- Derivadas:
- Logo
- A região
é o retângulo com e . A área é . - Portanto
Passo 9
Resolvendo o item 4. Vamos calcular
usando diretamente a parametrização dada. Sempre que tivermos
, o plano é substituir e integrar em
. Vou mostrar cada passo e uma observação esperta que simplifica a integral.
- Parametrização:
, . - Derivada:
Obs.: embora a derivada da primeira componente seja singular em
, a combinação que aparece no produto escalar é regular, como você verá — nada de pânico.
Passo 10
Ainda item 4: calcular
e o produto escalar.
- Primeiro,
. Então
- Produto escalar com
:
- Simplificando o parêntese (a parte sem o exponencial):
Logo
Passo 11
Ainda item 4: notar uma derivada exata que facilita a integral.
- Defina
. Então . Observe que
- Portanto o integrando é
- Isso é lindo porque reduz a integral a uma primitiva imediata.
Passo 12
Concluir o cálculo do item 4 usando a observação anterior.
- Integral:
- Calcular
e . Logo
Passo 13
Agora o item 5(a). Precisamos calcular o rotor (curl) no plano: para um campo
em 2D, o “rotor” (o escalar que corresponde à componente
do curl 3D) é
. Vou calcular isso e mostrar que dá zero para todo ponto onde
.
Passo 14
Cálculo explícito do item 5(a). Vou usar regra do quociente com cuidado. Coloco
para simplificar a escrita; lembre que aqui
(ou seja, estamos fora da origem).
- Calcular
:
- Calcular
:
- Subtrair:
- Conclusão:
em todo ponto com . (Prontinho.)
Passo 15
Item 5(b). Calcular
quando
é uma curva fechada simples que circunda a origem. Vou mostrar o caso mais simples (um círculo centrado na origem) e usar que qualquer curva simples que rode a origem uma vez (com orientação anti-horária) tem o mesmo valor por homotopia preservando a origem fora — explicar isso em seguida.
- Parametrizamos um círculo de raio
centrado na origem: . - Então
- Substituindo em
:
- Simplificando:
- Integrando
de a :
Passo 16
Ainda item 5(b): por que o resultado para um círculo vale para qualquer curva simples que rode a origem? Explicação curta e prática.
- O campo
é definido e tem em . Porém, o domínio não é simplesmente conexo: existem laços que não se podem contrair a um ponto sem cruzar a origem. Se tivermos duas curvas fechadas que rodeiam a origem com o mesmo índice de giro (winding number) em torno da origem, podemos deformar uma na outra sem cruzar a origem, e a integral de linha, sendo localmente dependente apenas da classe de homotopia, mantém o mesmo valor. Em particular, qualquer curva simples que circunda a origem uma vez, com orientação anti-horária, tem integral . - Se a curva circunda a origem
vezes (índice ), o valor será . Se a orientação for horária, o sinal muda para .
Passo 17
Item 5(c): explicar por que
não é conservativo em regiões que contêm a origem. Vou dar a explicação conceitual e uma prova curta por contradição usando o resultado do item (b).
- Lembre: um campo vetorial é conservativo numa região se existe uma função potencial
tal que em toda a região. Uma consequência básica é que a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada dentro da região deve ser zero (porque ). - Mas do item (b) vimos que há curvas fechadas no plano que rodeiam a origem onde
. Logo não existe função potencial definida em toda região que contenha essa curva (ou seja, em qualquer região que contenha a origem), porque isso contradizeria a propriedade de conservatividade. - Intuição alternativa: a componente angular do campo se comporta como
em torno da origem, e o potencial “angular” (o ângulo polar) seria múltipla de , que é função multivalorada — não se consegue definir um contínuo e único ao redor de todo um laço envolvendo a origem.
Resposta
(a)
(b)
(c)