Seja \mathbf{F}(x, y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right).
(a) Mostre que \nabla \times \mathbf{F}=0 em qualquer região que não contenha a origem.
(b) Calcule \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} onde C é qualquer curva fechada simples, suave por partes, que circunda a origem.
(c) Explique por que \mathbf{F} não é conservativo em regiões que contêm a origem.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\;\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right),
definido para (x,y)\neq(0,0). As perguntas são:
(a) Mostrar que \nabla\times\mathbf{F}=0 em qualquer região que não contenha a origem.
(b) Calcular \displaystyle\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} onde C é qualquer curva fechada simples, suave por partes, que circunda a origem.
(c) Explicar por que \mathbf{F} não é conservativo em regiões que contêm a origem.
As informações relevantes: fórmula explícita de \mathbf{F}; a origem é o único ponto onde \mathbf{F} é singular (denominador x^{2}+y^{2} zera); C envolve a origem (ou seja o interior de C contém o ponto (0,0)).

Passo 2

Vamos calcular o rotor bidimensional (componente em k), que é
\nabla\times\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}\Big(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\Big)-\frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\Big).
Para simplificar a notação, escrevo r^{2}=x^{2}+y^{2}. Primeiro derive a segunda componente em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}\Big(\frac{x}{r^{2}}\Big) =\frac{\partial}{\partial x}\Big(x\cdot r^{-2}\Big) =1\cdot r^{-2}+x\cdot(-2)r^{-4}\cdot x =\frac{1}{r^{2}}-\frac{2x^{2}}{r^{4}}.
Agora derive a primeira componente em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{-y}{r^{2}}\Big) =\frac{\partial}{\partial y}\Big(-y\cdot r^{-2}\Big) =-1\cdot r^{-2}-y\cdot(-2)r^{-4}\cdot y =-\frac{1}{r^{2}}+\frac{2y^{2}}{r^{4}}.

Passo 3

Subtraindo as duas derivadas vemos
\nabla\times\mathbf{F} =\Big(\frac{1}{r^{2}}-\frac{2x^{2}}{r^{4}}\Big)-\Big(-\frac{1}{r^{2}}+\frac{2y^{2}}{r^{4}}\Big) =\frac{2}{r^{2}}-\frac{2(x^{2}+y^{2})}{r^{4}}.
Mas x^{2}+y^{2}=r^{2}, então
\nabla\times\mathbf{F}=\frac{2}{r^{2}}-\frac{2r^{2}}{r^{4}}=\frac{2}{r^{2}}-\frac{2}{r^{2}}=0.
Como esta dedução usa apenas r^{2}=x^{2}+y^{2} não nulo, concluímos que \nabla\times\mathbf{F}=0 em qualquer região que não contenha a origem.

Passo 4

Uma observação útil: \mathbf{F} é o gradiente da função ângulo \theta=\arctan\!\big(\tfrac{y}{x}\big) (ou mais rigorosamente \theta=\operatorname{atan2}(y,x)) quando a \theta é escolhida localmente contínua. De fato, calcule as derivadas parciais de \theta:
\frac{\partial}{\partial x}\arctan\!\Big(\frac{y}{x}\Big) =\frac{1}{1+(y/x)^{2}}\cdot\Big(-\frac{y}{x^{2}}\Big) =-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},
\frac{\partial}{\partial y}\arctan\!\Big(\frac{y}{x}\Big) =\frac{1}{1+(y/x)^{2}}\cdot\Big(\frac{1}{x}\Big) =\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Portanto \mathbf{F}=\nabla\theta onde \theta é bem definida e suave.

Passo 5

Agora vamos calcular \displaystyle\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}. Se \mathbf{F}=\nabla\theta ao longo de uma curva que não cruza a descontinuidade de \theta, então
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\oint_{C}d\theta=\Delta\theta,
isto é, é a variação total do ângulo \theta ao percorrer C. Uma curva simples que circunda a origem uma vez faz com que o ângulo mude de \theta inicial para \theta+2\pi (se a orientação for anti-horária), logo \Delta\theta=2\pi.
Para ver de forma concreta, calcule para o caso simples: círculo de raio a>0 parametrizado por
x(t)=a\cos t,\qquad y(t)=a\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Então dx=-a\sin t\,dt,\;dy=a\cos t\,dt e
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\Big(\frac{-y}{a^{2}}\Big)dx+\Big(\frac{x}{a^{2}}\Big)dy =\frac{1}{a^{2}}\big(-a\sin t(-a\sin t)+a\cos t\cdot a\cos t\big)dt =\;dt.
Integrando de 0 a 2\pi obtemos \displaystyle\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=2\pi.

Passo 6

Observações finais sobre orientação e número de voltas: se C dá uma volta no sentido anti‑horário em torno da origem, a integral vale 2\pi. Se C estiver orientada horário, vale -2\pi. Se C circunda a origem n vezes (número de volta, ou índice de encadeamento), a integral vale 2\pi n. Em suma, a integral depende do índice de C em relação à origem.

Passo 7

Por que \mathbf{F} não é conservativo em regiões que contêm a origem? Definição: um campo é conservativo numa região se existe um potencial escalar global e as integrais de linha entre dois pontos são independentes do caminho (equivalente: integrais ao longo de curvas fechadas são zero). Aqui encontramos uma curva fechada C que envolve a origem para a qual \displaystyle\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=2\pi\neq 0. Isso contradiz a condição necessária para ser conservativo; portanto \mathbf{F} não é conservativo em qualquer região que contenha a origem. Outro modo de ver: o potencial \theta é multi‑valorado (muda de 2\pi ao dar uma volta), o domínio com a origem incluída não é simplesmente conectado, e o fato de \nabla\times\mathbf{F}=0 não basta para garantir existência de potencial global quando o domínio não é simplesmente conectado.

Resposta

(a) \nabla\times\mathbf{F}=0 para (x,y)\neq(0,0).
(b) \displaystyle\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=2\pi (para uma volta simples no sentido anti‑horário; em geral 2\pi n com n o número de voltas e sinal conforme a orientação).
(c) \mathbf{F} não é conservativo em regiões que contêm a origem, pois existe uma curva fechada em tal região com \displaystyle\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\neq0 (ou equivalentemente o potencial angular é multi‑valorado e o domínio não é simplesmente conectado).

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