Seja
.
(a) Mostre que
em qualquer região que não contenha a origem.
(b) Calcule
onde
é qualquer curva fechada simples, suave por partes, que circunda a origem.
(c) Explique por que
não é conservativo em regiões que contêm a origem.
(a) Mostre que
(b) Calcule
(c) Explique por que
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
definido para
. As perguntas são:
(a) Mostrar que em qualquer região que não contenha a origem.
(b) Calcular onde
é qualquer curva fechada simples, suave por partes, que circunda a origem.
(c) Explicar por que não é conservativo em regiões que contêm a origem.
(a) Mostrar que
(b) Calcular
(c) Explicar por que
As informações relevantes: fórmula explícita de
; a origem é o único ponto onde
é singular (denominador
zera);
envolve a origem (ou seja o interior de
contém o ponto
).
Passo 2
Vamos calcular o rotor bidimensional (componente em
), que é
Para simplificar a notação, escrevo
. Primeiro derive a segunda componente em relação a
:
Agora derive a primeira componente em relação a
:
Passo 3
Subtraindo as duas derivadas vemos
Mas
, então
Como esta dedução usa apenas
não nulo, concluímos que
em qualquer região que não contenha a origem.
Passo 4
Uma observação útil:
é o gradiente da função ângulo
(ou mais rigorosamente
) quando a
é escolhida localmente contínua. De fato, calcule as derivadas parciais de
:
Portanto
onde
é bem definida e suave.
Passo 5
Agora vamos calcular
. Se
ao longo de uma curva que não cruza a descontinuidade de
, então
isto é, é a variação total do ângulo
ao percorrer
. Uma curva simples que circunda a origem uma vez faz com que o ângulo mude de
inicial para
(se a orientação for anti-horária), logo
.
Para ver de forma concreta, calcule para o caso simples: círculo de raio
parametrizado por
Então
e
Integrando de
a
obtemos
.
Passo 6
Observações finais sobre orientação e número de voltas: se
dá uma volta no sentido anti‑horário em torno da origem, a integral vale
. Se
estiver orientada horário, vale
. Se
circunda a origem
vezes (número de volta, ou índice de encadeamento), a integral vale
. Em suma, a integral depende do índice de
em relação à origem.
Passo 7
Por que
não é conservativo em regiões que contêm a origem? Definição: um campo é conservativo numa região se existe um potencial escalar global e as integrais de linha entre dois pontos são independentes do caminho (equivalente: integrais ao longo de curvas fechadas são zero). Aqui encontramos uma curva fechada
que envolve a origem para a qual
. Isso contradiz a condição necessária para ser conservativo; portanto
não é conservativo em qualquer região que contenha a origem. Outro modo de ver: o potencial
é multi‑valorado (muda de
ao dar uma volta), o domínio com a origem incluída não é simplesmente conectado, e o fato de
não basta para garantir existência de potencial global quando o domínio não é simplesmente conectado.
Resposta
(a)
para
.
(b) (para uma volta simples no sentido anti‑horário; em geral
com
o número de voltas e sinal conforme a orientação).
(c) não é conservativo em regiões que contêm a origem, pois existe uma curva fechada em tal região com
(ou equivalentemente o potencial angular é multi‑valorado e o domínio não é simplesmente conectado).
(b)
(c)