Calcule:
\iint_{Q}\left(x^{3}+3 x^{2} y+y^{3}\\right) d x d y, em que Q=[0,1] \times[0,1].
\iint_{Q}\left(x^{3}+3 x^{2} y+y^{3}\\right) d x d y, em que Q=[0,1] \times[0,1].
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
em que
. O conteúdo é integral dupla sobre retângulo e usaremos o Teorema de Fubini para transformá-la em integral iterada.
Passo 2
Pela Fubini, escrevemos
Passo 3
Para integrar em
, tratamos
como constante. A antiderivada é
Avaliada de
a
, obtemos
Assim a integral passa a ser
Passo 4
Agora integramos em
. A antiderivada de
é
avaliada de
a
. Logo,