Calcule:
\iint_{Q}\left(x^{3}+3 x^{2} y+y^{3}\\right) d x d y, em que Q=[0,1] \times[0,1].

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
integral duplaQl(x^3+3x^2y+y^3r),dx,dy
em que Q=[0,1]times[0,1]. O conteúdo é integral dupla sobre retângulo e usaremos o Teorema de Fubini para transformá-la em integral iterada.

Passo 2

Pela Fubini, escrevemos
integral duplaQ(x^3+3x^2y+y^3),dx,dy = integral0^1l(integral0^1(x^3+3x^2y+y^3),dxr),dy

Passo 3

Para integrar em x, tratamos y como constante. A antiderivada é
integral (x^3+3x^2y+y^3),dx = x^44 + x^3y + x,y^3
Avaliada de x=0 a x=1, obtemos
14 + y + y^3
Assim a integral passa a ser
integral0^1l(tfrac14 + y + y^3r),dy

Passo 4

Agora integramos em y. A antiderivada de tfrac14 + y + y^3 é
y4 + y^22 + y^44
avaliada de 0 a 1. Logo,
integral0^1l(tfrac14 + y + y^3r),dy = 14 + 12 + 14 = 1

Resposta

1

Exercícios relacionados