Faça um esboço da região de integração e mude a sua ordem para os casos abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a integral iterada
que corresponde à região
onde
e
O objetivo é esboçar essa região e reescrever a integral trocando a ordem de integração. Para isso vamos:
- Identificar curvas limites e verificar onde elas se intersectam.
- Projetar
no eixo para achar os valores extremos de . - Para cada
fixo, determinar o intervalo em . - Escrever a nova integral
.
Passo 2
As fronteiras de
são a reta
passando por
e
, e o semicírculo superior
que tem centro em
e raio
, unindo
a
. No plano
, a região é o “cap” entre a reta decrescente e o arco de círculo, limitado verticalmente por
e
.
Passo 3
Para ver onde reta e semicírculo se encontram, igualamos
Elevando ao quadrado:
De fato elas se cruzam em
e
, fechando
.
Passo 4
Projetando
no eixo
, vemos que o menor valor de
é
(em
) e o maior é
(em
). Logo
Passo 5
Para um
fixo em
, os pontos de
satisfazem simultaneamente
e
Além disso
, mas para
tem-se
, então o limite inferior em
é
. Portanto, para cada
,
Passo 6
Trocando a ordem de integração, primeiro integramos em
de
até
, e depois em
de
até
. Assim a integral fica