Faça um esboço da região de integração e mude a sua ordem para os casos abaixo:
integral1^2(integral2-x^raiz2 x-x^2 f(x, y) d y) d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral iterada
integral1^2l(integral2 - x^raiz2x - x^2f(x,y),dyr)dx
que corresponde à região RsubsetR^2 onde 1<= x<=2 e
2 - x ;<=; y ;<=;raiz2x - x^2
O objetivo é esboçar essa região e reescrever a integral trocando a ordem de integração. Para isso vamos:
  1. Identificar curvas limites e verificar onde elas se intersectam.
  2. Projetar R no eixo y para achar os valores extremos de y.
  3. Para cada y fixo, determinar o intervalo em x.
  4. Escrever a nova integral integral dyintegral dx.

Passo 2

As fronteiras de R são a reta
y = 2 - x
passando por (1,1) e (2,0), e o semicírculo superior
y = raiz2x - x^2 = raiz1 - (x-1)^2,
que tem centro em (1,0) e raio 1, unindo (1,1) a (2,0). No plano xy, a região é o “cap” entre a reta decrescente e o arco de círculo, limitado verticalmente por x=1 e x=2.

Passo 3

Para ver onde reta e semicírculo se encontram, igualamos
2 - x = raiz2x - x^2
Elevando ao quadrado:
(2-x)^2 = 2x - x^2 ;Longrightarrow; x^2 -3x +2 = 0 ;Longrightarrow; x=1 ou x=2
De fato elas se cruzam em (1,1) e (2,0), fechando R.

Passo 4

Projetando R no eixo y, vemos que o menor valor de y é 0 (em x=2) e o maior é 1 (em x=1). Logo
0 <= y <= 1

Passo 5

Para um y fixo em [0,1], os pontos de R satisfazem simultaneamente
y >= 2 - x Longrightarrow x >= 2 - y,
e
y <= raiz2x - x^2 Longrightarrow y^2 <= 2x - x^2 ;Longrightarrow; (x-1)^2 <= 1 - y^2 ;Longrightarrow; x <= 1 + raiz1 - y^2
Além disso x>=1, mas para yin[0,1] tem-se 2-y>=1, então o limite inferior em x é 2-y. Portanto, para cada yin[0,1],
2 - y ;<=; x ;<=; 1 + raiz1 - y^2

Passo 6

Trocando a ordem de integração, primeiro integramos em x de 2-y até 1+raiz1-y^2, e depois em y de 0 até 1. Assim a integral fica
integraly=0^1l(integralx=2-y^,1+raiz1 - y^2f(x,y),dxr)dy

Resposta

boxed integral1^2!l(integral2 - x^raiz2x - x^2f(x,y),dyr)dx ;=; integral0^1!l(integral2 - y^,1 + raiz1 - y^2f(x,y),dxr)dy

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