Considere a série
sumn=1^infty n^400(n+1)^200(n+100)^20
(a) Calcule
lim n infty n^400(n+1)^200(n+100)^20
(b) Essa série tem soma maior do que 10^10000 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a série
sumn=1^infty n^400(n+1)^200(n+100)^20
e pede (a) o limite do termo geral an=n^400(n+1)^200(n+100)^20 quando ntoinfty e (b) se a soma da série ultrapassa 10^10000. Vamos usar fatoração em potências de n para o limite e o teste do termo geral para decidir a soma.

Passo 2

Escrevemos
an = n^400(n+1)^200(n+100)^20 = n^400n^200(1+tfrac1n)^200;;n^20(1+tfrac100n)^20 = n^180(1+tfrac1n)^200(1+tfrac100n)^20
Como limntoinfty(1+tfrac1n)=1 e limntoinfty(1+tfrac100n)=1, segue
limntoinftyan = limntoinftyn^180(1+tfrac1n)^200(1+tfrac100n)^20 = limntoinftyn^180 = +infty

Passo 3

Pelo teste do termo geral, se limntoinftyanneq 0 então a série diverge, isto é, a soma parcial tende a +infty.

Passo 4

Como a soma diverge para infinito, certamente ela ultrapassa qualquer número finito, em particular 10^10000.

Resposta

(a) +infty.
(b) Sim. A série diverge pelo teste do termo geral, logo sua soma é infinita e excede 10^10000.

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