Calcule:
\iint_{Q} \operatorname{sen}^{2}(x) \operatorname{sen}^{2}(y) d x d y, em que Q=[0, \pi] \times[0, \pi].

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
integral duplaQsin^2(x)sin^2(y),dx,dy
sobre Q=[0,pi]times[0,pi]. Vamos usar o Teorema de Fubini para separar em produto de integrais simples e a identidade trigonométrica
sin^2(t)=tfrac1-cos(2t)2.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini,
integral duplaQsin^2(x)sin^2(y),dx,dy =l(integral0^pisin^2(x),dxr) l(integral0^pisin^2(y),dyr)

Passo 3

Como as duas integrais são iguais, basta calcular
I=integral0^pisin^2(x),dx
Para isso usamos
sin^2(x)=1-cos(2x)2.

Passo 4

I =integral0^pi1-cos(2x)2,dx =12l[xr]0^pi -12l[sin(2x)2r]0^pi =pi2

Passo 5

Portanto, a integral dupla é
l(tfracpi2r)timesl(tfracpi2r) =pi^24

Resposta

pi^24

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