Calcule:
\iint_{D}(3 x-2 y) d A, \quad D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,1 \leq y \leq 3\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}(3x-2y)\,dA
onde D é o retângulo \{(x,y)\mid 0\le x\le2,\;1\le y\le3\}. Como a função é contínua em D, podemos usar o Teorema de Fubini e escrever a integral como uma iterada em x e y.

Passo 2

Escrevemos a integral dupla como iterada em y primeiro e depois em x:
\iint_{D}(3x-2y)\,dA =\int_{0}^{2}\Bigl(\int_{1}^{3}(3x-2y)\,dy\Bigr)dx.

Passo 3

Calculamos a integral interna em y:
\int_{1}^{3}(3x-2y)\,dy =3x\int_{1}^{3}dy \;-\;2\int_{1}^{3}y\,dy =3x\bigl[y\bigr]_{1}^{3}-2\bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\bigr]_{1}^{3} =3x(3-1)-(3^{2}-1^{2}) =6x-8.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{0}^{2}(6x-8)\,dx =6\int_{0}^{2}x\,dx-8\int_{0}^{2}dx =6\bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\bigr]_{0}^{2}-8\bigl[x\bigr]_{0}^{2} =6\cdot2-8\cdot2 =12-16 =-4.

Resposta

-4

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