Calcule:
\iint_{D}\left(x^{3}+y^{3}\right) d A, \quad D=\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq 1,0 \leq x \leq 1\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\bigl(x^{3}+y^{3}\bigr)\,dA,
onde D é o quadrado \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1\}.
O conteúdo aqui é aplicação do Teorema de Fubini para transformar a integral dupla em iteradas.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
\iint_{D}\bigl(x^{3}+y^{3}\bigr)\,dA =\int_{y=0}^{1}\!\int_{x=0}^{1}\bigl(x^{3}+y^{3}\bigr)\,dx\,dy.
Como a soma separa-se em duas integrais, obtemos
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}x^{3}\,dx\,dy \;+\;\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}y^{3}\,dx\,dy.

Passo 3

Na primeira parte, \displaystyle\int_{0}^{1}x^{3}\,dx = \tfrac{1}{4}.
Então
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}x^{3}\,dx\,dy =\int_{0}^{1}\frac{1}{4}\,dy =\frac{1}{4}\cdot1 =\frac{1}{4}.
Na segunda parte, \displaystyle\int_{0}^{1}y^{3}\,dx = y^{3}\int_{0}^{1}dx = y^{3}.
Logo
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}y^{3}\,dx\,dy =\int_{0}^{1}y^{3}\,dy =\frac{1}{4}.

Passo 4

Somando as duas contribuições, a integral dupla vale
\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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