Calcule:
\iint_{D}\left(x y^{2}\right) d A, \quad D=\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq 3,0 \leq x \leq 2\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} x\,y^{2}\,dA
onde
D = \{(x,y)\mid 0\le y\le 3,\;0\le x\le 2\}.
O conteúdo envolvido é aplicação do Teorema de Fubini em um retângulo, que permite escrever a integral como iterada.

Passo 2

Pela continuidade de f(x,y)=x y^2 em D e por D ser um retângulo, podemos trocar ordem de integração. Vamos integrar primeiro em x:
\iint_{D} x\,y^{2}\,dA =\int_{y=0}^{3}\biggl(\int_{x=0}^{2}x\,y^{2}\,dx\biggr)dy.

Passo 3

No interior, y^2 é constante em relação a x. Então
\int_{x=0}^{2}x\,y^{2}\,dx =y^{2}\int_{0}^{2}x\,dx =y^{2}\biggl[\frac{x^{2}}{2}\biggr]_{0}^{2} =y^{2}\cdot\frac{4}{2} =2\,y^{2}.

Passo 4

Substituindo na integral externa:
\int_{y=0}^{3}2\,y^{2}\,dy =2\int_{0}^{3}y^{2}\,dy =2\biggl[\frac{y^{3}}{3}\biggr]_{0}^{3} =2\cdot\frac{27}{3} =18.

Resposta

18

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