Calcule:
\int_{1}^{5} \int_{0}^{x}(8 x-2 y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{1}^{5}\int_{0}^{x}(8x-2y)\,dy\,dx
que é um caso clássico de integral iterada: primeiro integramos em y (de 0 até x) e depois em x (de 1 até 5).

Passo 2

Vamos resolver a integral interna em y:
\int_{0}^{x}(8x-2y)\,dy = 8x\int_{0}^{x}1\,dy -2\int_{0}^{x}y\,dy = 8x\cdot x -2\cdot\frac{x^{2}}{2} =8x^{2}-x^{2} =7x^{2}.

Passo 3

Substituindo o resultado na integral externa, temos
\int_{1}^{5}7x^{2}\,dx =7\int_{1}^{5}x^{2}\,dx =7\biggl[\frac{x^{3}}{3}\biggr]_{1}^{5} =\frac{7}{3}\bigl(125-1\bigr) =\frac{868}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{868}{3}

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