Calcule:
e
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde a região
é o retângulo dado por
Informações importantes fornecidas:
- A função integranda é
. - Os limites de
são a . - Os limites de
são a .
O que se pede: o valor numérico da integral dupla sobre.
Passo 2
Escolha do método e escrita como integral iterada.
Como é um retângulo e a integranda é um polinômio (função contínua), podemos usar a regra de Fubini: a integral dupla sobre
é igual à integral iterada. Vou integrar primeiro em
(tratando
como constante) e depois em
. Assim montamos
Como
Breve explicação prática: integrar em
primeiro é conveniente porque a expressão é linear em
(facilita a antiderivada).
Passo 3
Cálculo da integral interna (em
).
Vamos calcular
Vamos calcular
Regra usada: a integral de uma soma é a soma das integrais, constantes multiplicativas saem da integral, e a antiderivada de
é
. Aplicando:
Agora avaliar os limites:
Portanto a integral interna é
Passo 4
Cálculo da integral externa (em
).
Agora temos que calcular
Agora temos que calcular
Usamos a regra de potências para antiderivadas: a antiderivada de
é
. Assim:
Portanto uma primitiva da integranda é
, e devemos avaliar entre
e
:
Passo 5
Avaliação dos limites e simplificação.
Avaliar a primitiva nos extremos:
Avaliar a primitiva nos extremos:
Calcule passo a passo:
logo o primeiro termo é
.
O termo em é
.
Portanto a expressão fica
O termo em
Portanto a expressão fica
Simplificando cada parte:
então obtemos