Calcule:
\iint_{R}\left(6 x^{2} y-2 x\right) d A \operatorname{com} R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 1 \leq x \leq 4\right. e \left.0 \leq y \leq 2\right\}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R}\left(6 x^{2} y-2 x\right)\,dA
onde a região R é o retângulo dado por
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 1\le x\le 4,\; 0\le y\le 2\}.
Informações importantes fornecidas:
  • A função integranda é 6x^{2}y-2x.
  • Os limites de x são 1 a 4.
  • Os limites de y são 0 a 2.
    O que se pede: o valor numérico da integral dupla sobre R.

Passo 2

Escolha do método e escrita como integral iterada.
Como R é um retângulo e a integranda é um polinômio (função contínua), podemos usar a regra de Fubini: a integral dupla sobre R é igual à integral iterada. Vou integrar primeiro em y (tratando x como constante) e depois em x. Assim montamos
\iint_{R}\left(6 x^{2} y-2 x\right)\,dA =\int_{x=1}^{4}\left(\int_{y=0}^{2}\left(6 x^{2} y-2 x\right)\,dy\right)dx.
Breve explicação prática: integrar em y primeiro é conveniente porque a expressão é linear em y (facilita a antiderivada).

Passo 3

Cálculo da integral interna (em y).
Vamos calcular
\int_{y=0}^{2}\left(6 x^{2} y-2 x\right)\,dy.
Regra usada: a integral de uma soma é a soma das integrais, constantes multiplicativas saem da integral, e a antiderivada de y é y^{2}/2. Aplicando:
\int_{0}^{2}6x^{2}y\,dy = 6x^{2}\int_{0}^{2}y\,dy = 6x^{2}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{2},
\int_{0}^{2}-2x\,dy = -2x\int_{0}^{2}1\,dy = -2x\left[y\right]_{0}^{2}.
Agora avaliar os limites:
6x^{2}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = 6x^{2}\cdot\frac{2^{2}}{2}=6x^{2}\cdot\frac{4}{2}=6x^{2}\cdot 2=12x^{2},
-2x\left[y\right]_{0}^{2} = -2x\cdot 2 = -4x.
Portanto a integral interna é
\int_{0}^{2}\left(6 x^{2} y-2 x\right)\,dy = 12x^{2}-4x.

Passo 4

Cálculo da integral externa (em x).
Agora temos que calcular
\int_{x=1}^{4}\left(12x^{2}-4x\right)\,dx.
Usamos a regra de potências para antiderivadas: a antiderivada de x^{n} é x^{n+1}/(n+1). Assim:
\int 12x^{2}\,dx = 12\cdot\frac{x^{3}}{3}=4x^{3},
\int -4x\,dx = -4\cdot\frac{x^{2}}{2}=-2x^{2}.
Portanto uma primitiva da integranda é 4x^{3}-2x^{2}, e devemos avaliar entre x=1 e x=4:
\int_{1}^{4}\left(12x^{2}-4x\right)\,dx = \left[4x^{3}-2x^{2}\right]_{1}^{4}.

Passo 5

Avaliação dos limites e simplificação.
Avaliar a primitiva nos extremos:
\left[4x^{3}-2x^{2}\right]_{1}^{4} = \big(4\cdot 4^{3}-2\cdot 4^{2}\big) - \big(4\cdot 1^{3}-2\cdot 1^{2}\big).
Calcule passo a passo:
4^{3}=64,\quad 4^{2}=16,
4\cdot 64 = 256,\quad 2\cdot 16 = 32,
logo o primeiro termo é 256-32.
O termo em x=1 é 4\cdot1-2\cdot1 = 4-2.
Portanto a expressão fica
(256-32)-(4-2).
Simplificando cada parte:
256-32 = 224,\quad 4-2=2,
então obtemos
224-2 = 222.

Resposta

222

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