Calcule:
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{-2}\right) d A com R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid-3 \leq x \leq 1\right. e \left.1 \leq y \leq 2\right\}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral dupla
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{-2}\right)\,dA
onde a região R é o retângulo dado por
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid -3\le x\le 1,\; 1\le y\le 2\}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A função a integrar é x^{2}+y^{-2} (lembre: y^{-2}=\dfrac{1}{y^{2}}).
  • A região R é o retângulo com x variando de -3 a 1 e y variando de 1 a 2.
  • Preciso calcular o valor numérico da integral dupla sobre R.

Passo 2

Transformando a integral dupla em uma integral iterada (esta transformação é válida porque a função é contínua em R; note que y^{-2} é contínua em [1,2] porque não há singularidade ali). Escrevo a integral como uma integral iterada em ordem dx\,dy:
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{-2}\right)\,dA =\int_{y=1}^{2}\left(\int_{x=-3}^{1}\left(x^{2}+y^{-2}\right)\,dx\right)dy.
Aqui eu usei a propriedade de Fubini (para funções contínuas em retângulos), que permite trocar a integral dupla por uma iteração de integrais simples.

Passo 3

Uso linearidade da integral para separar a soma dentro da integral em duas integrais:
\int_{x=-3}^{1}\left(x^{2}+y^{-2}\right)\,dx =\int_{x=-3}^{1}x^{2}\,dx+\int_{x=-3}^{1}y^{-2}\,dx.
Observação importante: na segunda integral, y é tratado como constante porque estamos integrando em x.

Passo 4

Calculo a primeira integral em x:
a primitiva de x^{2} em relação a x é \dfrac{x^{3}}{3} (regra: \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq-1). Então
\int_{x=-3}^{1}x^{2}\,dx=\left.\dfrac{x^{3}}{3}\right|_{-3}^{1} =\dfrac{1^{3}-(-3)^{3}}{3} =\dfrac{1-(-27)}{3} =\dfrac{28}{3}.

Passo 5

Calculo a segunda integral em x:
\int_{x=-3}^{1}y^{-2}\,dx =y^{-2}\cdot\left.\;x\right|_{-3}^{1} =y^{-2}\cdot(1-(-3)) =4\,y^{-2}.
(Expliquei: como y^{-2} é constante em relação a x, ela sai da integral e resta multiplicar pela medida do intervalo de x, que é 1-(-3)=4.)

Passo 6

Somando os resultados do Passo 4 e do Passo 5, a integral interna fica
\int_{x=-3}^{1}\left(x^{2}+y^{-2}\right)\,dx=\dfrac{28}{3}+4\,y^{-2}.
Agora integro isso em y de 1 a 2:
\int_{y=1}^{2}\left(\dfrac{28}{3}+4y^{-2}\right)\,dy =\int_{1}^{2}\dfrac{28}{3}\,dy+\int_{1}^{2}4y^{-2}\,dy.

Passo 7

Calculo cada parcela em y:
  • A primeira é simples porque \dfrac{28}{3} é constante:
\int_{1}^{2}\dfrac{28}{3}\,dy=\dfrac{28}{3}\cdot(2-1)=\dfrac{28}{3}.
  • A segunda: a primitiva de y^{-2} é -y^{-1} (pela regra \int y^{n}\,dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1}; aqui n=-2 -y^{-1}). Assim
\int_{1}^{2}4y^{-2}\,dy=4\left.\left(-\dfrac{1}{y}\right)\right|_{1}^{2} =4\left(-\dfrac{1}{2}+1\right) =4\cdot\dfrac{1}{2}=2.

Passo 8

Somando as duas partes obtidas no Passo 7:
\dfrac{28}{3}+2=\dfrac{28}{3}+\dfrac{6}{3}=\dfrac{34}{3}.
Portanto a integral dupla vale \dfrac{34}{3}. Boa! Você viu que a estratégia foi: escrever como integral iterada, usar linearidade e calcular primitivas simples.

Resposta

\dfrac{34}{3}

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