Determina uma equação vetorial e as equações paramétricas para o segmento de reta ligando o ponto \mathrm{P}(1,3,-2) ao ponto \mathrm{Q}(2,-1,3).

Passo 1

O enunciado pede: "Determina uma equação vetorial e as equações paramétricas para o segmento de reta ligando o ponto \mathrm{P}(1,3,-2) ao ponto \mathrm{Q}(2,-1,3)".
Informações dadas:
\mathrm{P}=(1,3,-2) e \mathrm{Q}=(2,-1,3).
O que é pedido:
  • uma equação vetorial do segmento de reta \mathrm{PQ};
  • as equações paramétricas correspondentes.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagarinho): uma equação vetorial de uma reta (ou segmento) pode ser escrita como
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0 + t\,\mathbf{v},
onde \mathbf{r}(t) é o vetor posição de um ponto genérico da reta, \mathbf{r}_0 é o vetor posição de um ponto conhecido da reta (aqui podemos escolher \mathrm{P} ou \mathrm{Q}) e \mathbf{v} é um vetor diretor da reta. O parâmetro t varia ao longo da reta; para representar o segmento entre \mathrm{P} e \mathrm{Q} escolhemos t no intervalo [0,1] para que t=0 \mathrm{P} e t=1 \mathrm{Q}.

Passo 3

Como encontrar o vetor diretor \mathbf{v}: subtraímos coordenadas de \mathrm{P} de \mathrm{Q},
\mathbf{v}=\overrightarrow{PQ}=\mathrm{Q}-\mathrm{P}.
Calculemos coordenada a coordenada:
\begin{aligned} \text{primeira coordenada: }& 2-1 = 1,\\\ \text{segunda coordenada: }& -1-3 = -4,\\\ \text{terceira coordenada: }& 3-(-2) = 3+2 = 5. \end{aligned}
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\mathbf{v}=\langle 1,-4,5\rangle.

Passo 4

Escolhemos o ponto inicial \mathbf{r}_0 como o vetor posição de \mathrm{P}, isto é \mathbf{r}_0=\langle 1,3,-2\rangle. Substituindo em
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0 + t\,\mathbf{v}
obtemos a equação vetorial do segmento \mathrm{PQ} com t no intervalo [0,1]:
\mathbf{r}(t)=\langle 1,3,-2\rangle + t\langle 1,-4,5\rangle,\quad 0\le t\le 1.
Explicação rápida: quando t=0 temos \mathbf{r}(0)=\langle 1,3,-2\rangle (ponto \mathrm{P}) e quando t=1 obtemos \mathbf{r}(1)=\langle 2,-1,3\rangle (ponto \mathrm{Q}), então o parâmetro percorre exatamente o segmento.

Passo 5

Para obter as equações paramétricas, escrevemos a identidade anterior coordenada a coordenada. Multiplicando e somando componentes:
\mathbf{r}(t)=\langle 1+t,\;3-4t,\;-2+5t\rangle,\quad 0\le t\le 1.
Portanto as equações paramétricas são
x=1+t,\qquad y=3-4t,\qquad z=-2+5t,\qquad 0\le t\le 1.
Aqui x,y,z são as coordenadas do ponto genérico do segmento em função do parâmetro t.

Passo 6

Verificação rápida (uma checagem que é bom sempre fazer na prova): avaliar em t=0 e t=1.
t=0:\\ (x,y,z)=(1,3,-2)=\mathrm{P}.
t=1:\\ (x,y,z)=(2,-1,3)=\mathrm{Q}.
Perfeito — nossa fórmula descreve exatamente o segmento pedido.

Resposta

\mathbf{r}(t)=\langle 1,3,-2\rangle + t\langle 1,-4,5\rangle,\\\ 0\le t\le 1.
x=1+t,\\ y=3-4t,\\ z=-2+5t,\\\ 0\le t\le 1.

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