Determina uma equação vetorial e as equações paramétricas para o segmento de reta ligando o ponto \mathrm{P}(1,3,-2) ao ponto \mathrm{Q}(2,-1,3).
Passo 1
O enunciado pede: "Determina uma equação vetorial e as equações paramétricas para o segmento de reta ligando o ponto \mathrm{P}(1,3,-2) ao ponto \mathrm{Q}(2,-1,3)".
Informações dadas: \mathrm{P}=(1,3,-2) e \mathrm{Q}=(2,-1,3).
O que é pedido:
uma equação vetorial do segmento de reta \mathrm{PQ};
as equações paramétricas correspondentes.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado devagarinho): uma equação vetorial de uma reta (ou segmento) pode ser escrita como
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0 + t\,\mathbf{v},
onde \mathbf{r}(t) é o vetor posição de um ponto genérico da reta, \mathbf{r}_0 é o vetor posição de um ponto conhecido da reta (aqui podemos escolher \mathrm{P} ou \mathrm{Q}) e \mathbf{v} é um vetor diretor da reta. O parâmetro t varia ao longo da reta; para representar o segmento entre \mathrm{P} e \mathrm{Q} escolhemos t no intervalo [0,1] para que t=0 dê \mathrm{P} e t=1 dê \mathrm{Q}.
Passo 3
Como encontrar o vetor diretor \mathbf{v}: subtraímos coordenadas de \mathrm{P} de \mathrm{Q},
Explicação rápida: quando t=0 temos \mathbf{r}(0)=\langle 1,3,-2\rangle (ponto \mathrm{P}) e quando t=1 obtemos \mathbf{r}(1)=\langle 2,-1,3\rangle (ponto \mathrm{Q}), então o parâmetro percorre exatamente o segmento.
Passo 5
Para obter as equações paramétricas, escrevemos a identidade anterior coordenada a coordenada. Multiplicando e somando componentes: