Resolva a seguinte equaçăo diferencial empregando série de potências?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dada a equação diferencial
. - Não foram dados valores iniciais; portanto queremos a solução geral
com duas constantes arbitrárias. - Informações úteis fornecidas: coeficientes são polinômios (portanto analíticos), o que permite buscar solução em série de potências centrada em
. - Resultado esperado: uma expressão para
(pode ser em série de potências ou em forma fechada equivalente).
Passo 2
Vamos começar supondo uma solução em série de potências centrada em
. Isso significa assumir que
pode ser escrita como
onde os
são coeficientes a determinar. Explicando: aqui cada
é um número real (ou complexo) que multiplica a potência
. Essa é uma suposição padrão quando os coeficientes da EDO são analíticos perto de
.
Passo 3
Calculemos as derivadas necessárias termo a termo (isto é permitido dentro do raio de convergência da série):
Explicando cada linha: ao derivar
obtemos
; ao derivar novamente obtemos
.
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial:
O segundo termo simplifica porque multiplicar por
aumenta o expoente em uma unidade:
Passo 5
Queremos juntar as séries com a mesma potência de
. No primeiro somatório, trocamos o índice para que o expoente seja
. Façamos
, isto é
. Assim
No segundo somatório usamos expoente
; para uniformizar, renomeamos
para
:
Agora escrevemos a equação como
Passo 6
Separe o termo de
do primeiro somatório e junte os demais com o segundo somatório, todos em potência
. Para
o segundo somatório não tem termo, então obtemos:
- Para
:
- Para
: combinando os dois somatórios,
Isto fornece a relação de recorrência entre os coeficientes
e
.
Passo 7
Isolando
da recorrência:
Explicação: essa fórmula diz que coeficientes de ordem par/ímpar se relacionam saltando dois índices; ela nos permite gerar todos os coeficientes a partir de
e
.
Passo 8
Vamos explorar a recorrência separando casos conforme a paridade de
.
- Para índices pares: tome
com . Então
- Para índices ímpares: tome
com . Então
Além disso já encontramos
. Use isso para ver a estrutura:
Começando com
:
-
(do passo anterior). - Então, usando a recorrência para pares,
depende de e portanto . Por indução todos os coeficientes de índice par além de serão zero? Precisamos checar: a recorrência para não foi usada (porque exigimos ), mas já vimos . A partir de e da relação para pares, todos para . Assim a contribuição de potências pares além do termo some, e os termos pares efetivos na série serão apenas o termo .
Começando com
:
- Os coeficientes ímpares geram uma sequência não nula em geral. Vamos obter a fórmula geral para os termos ímpares. Aplicando a recorrência repetidas vezes:
com
arbitrário (constante livre).
Passo 9
Vamos simplificar a expressão dos coeficientes ímpares para obter uma forma mais explícita. Observe que a sequência para
pode ser obtida integrando uma série conhecida; porém aqui fazemos termo a termo. Note que a recorrência para derivadas sugere que a derivada
tem série com só termos pares (porque y tem só ímpares além de
). Em vez de manipular produtos complicados, é pedagogicamente bom reconhecer uma redução de ordem simples: se definirmos
, então a equação original se torna
Explicando: como
, então
, e substituindo na EDO obtemos uma EDO de primeira ordem para
.
Passo 10
Resolvendo a equação de primeira ordem para
:
Isto é uma equação separável. Separe as variáveis e integre:
A integral do lado esquerdo é
. Assim
onde
é uma constante. Exponenciando,
onde
(vou chamar de
) é uma constante arbitrária não nula (pode ser zero também).
Passo 11
Agora integramos para obter
:
Aqui
é a constante de integração que surge ao integrar
. Portanto a solução geral é
Explicando: como não havia condições iniciais, temos duas constantes arbitrárias
e
, correspondendo às duas constantes lineares independentes da solução geral de uma ODE linear de segunda ordem.
Passo 12
Podemos expressar a integral em série de potências ou em termos da função erro (função especial). Primeiro a série: expandindo
em série de potências:
Integrando termo a termo,
Portanto uma forma em série da solução geral é
Passo 13
Forma fechada usando função erro: lembrando a definição da função erro
,
fazendo a mudança de variável
ou
é possível mostrar que
Assim uma forma compacta da solução geral é
(As constantes
e
absorvem fatores multiplicativos ou constantes de integração conforme desejado.)