Resolva a seguinte equaçăo diferencial empregando série de potências?
y^{\prime \prime}+x y^{\prime}=0

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dada a equação diferencial y'' + x\,y' = 0.
  • Não foram dados valores iniciais; portanto queremos a solução geral y(x) com duas constantes arbitrárias.
  • Informações úteis fornecidas: coeficientes são polinômios (portanto analíticos), o que permite buscar solução em série de potências centrada em x=0.
  • Resultado esperado: uma expressão para y(x) (pode ser em série de potências ou em forma fechada equivalente).

Passo 2

Vamos começar supondo uma solução em série de potências centrada em 0. Isso significa assumir que y pode ser escrita como
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n},
onde os a_{n} são coeficientes a determinar. Explicando: aqui cada a_{n} é um número real (ou complexo) que multiplica a potência x^{n}. Essa é uma suposição padrão quando os coeficientes da EDO são analíticos perto de 0.

Passo 3

Calculemos as derivadas necessárias termo a termo (isto é permitido dentro do raio de convergência da série):
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}.
Explicando cada linha: ao derivar a_n x^n obtemos n a_n x^{n-1}; ao derivar novamente obtemos n(n-1)a_n x^{n-2}.

Passo 4

Substituímos y'' e y' na equação diferencial:
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2} \;+\; x \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1} \;=\; 0.
O segundo termo simplifica porque multiplicar por x aumenta o expoente em uma unidade:
x\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n}.

Passo 5

Queremos juntar as séries com a mesma potência de x. No primeiro somatório, trocamos o índice para que o expoente seja x^{m}. Façamos m=n-2, isto é n=m+2. Assim
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}=\sum_{m=0}^{\infty} (m+2)(m+1) a_{m+2} x^{m}.
No segundo somatório usamos expoente x^{n}; para uniformizar, renomeamos n para m:
\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n}=\sum_{m=1}^{\infty} m a_{m} x^{m}.
Agora escrevemos a equação como
\sum_{m=0}^{\infty} (m+2)(m+1) a_{m+2} x^{m} \;+\; \sum_{m=1}^{\infty} m a_{m} x^{m} \;=\; 0.

Passo 6

Separe o termo de m=0 do primeiro somatório e junte os demais com o segundo somatório, todos em potência x^{m}. Para m=0 o segundo somatório não tem termo, então obtemos:
  • Para m=0:
(0+2)(0+1) a_{2} = 2 a_{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad a_{2}=0.
  • Para m\ge 1: combinando os dois somatórios,
(m+2)(m+1) a_{m+2} + m a_{m} = 0.
Isto fornece a relação de recorrência entre os coeficientes a_{m+2} e a_{m}.

Passo 7

Isolando a_{m+2} da recorrência:
a_{m+2} = -\frac{m}{(m+2)(m+1)}\, a_{m},\qquad m\ge 1.
Explicação: essa fórmula diz que coeficientes de ordem par/ímpar se relacionam saltando dois índices; ela nos permite gerar todos os coeficientes a partir de a_{0} e a_{1}.

Passo 8

Vamos explorar a recorrência separando casos conforme a paridade de m.
  • Para índices pares: tome m=2k com k\ge 1. Então
a_{2k+2} = -\frac{2k}{(2k+2)(2k+1)}\, a_{2k}.
  • Para índices ímpares: tome m=2k+1 com k\ge 0. Então
a_{2k+3} = -\frac{2k+1}{(2k+3)(2k+2)}\, a_{2k+1}.
Além disso já encontramos a_{2}=0. Use isso para ver a estrutura:
Começando com a_{0}:
  • a_{2}=0 (do passo anterior).
  • Então, usando a recorrência para pares, a_{4} depende de a_{2} e portanto a_{4}=0. Por indução todos os coeficientes de índice par além de a_{0} serão zero? Precisamos checar: a recorrência para m=0 não foi usada (porque exigimos m\ge1), mas já vimos a_2=0. A partir de a_2=0 e da relação para pares, todos a_{2k}=0 para k\ge1. Assim a contribuição de potências pares além do termo a_0 some, e os termos pares efetivos na série serão apenas o termo a_0 x^0.
Começando com a_{1}:
  • Os coeficientes ímpares geram uma sequência não nula em geral. Vamos obter a fórmula geral para os termos ímpares. Aplicando a recorrência repetidas vezes:
a_{2k+1} = a_{1}\cdot \prod_{j=0}^{k-1}\left(-\frac{2j+1}{(2j+3)(2j+2)}\right),\qquad k\ge 1,
com a_1 arbitrário (constante livre).

Passo 9

Vamos simplificar a expressão dos coeficientes ímpares para obter uma forma mais explícita. Observe que a sequência para a_{2k+1} pode ser obtida integrando uma série conhecida; porém aqui fazemos termo a termo. Note que a recorrência para derivadas sugere que a derivada y' tem série com só termos pares (porque y tem só ímpares além de a_0). Em vez de manipular produtos complicados, é pedagogicamente bom reconhecer uma redução de ordem simples: se definirmos p(x)=y'(x), então a equação original se torna
p'(x)+x p(x)=0.
Explicando: como p=y', então p'=y'', e substituindo na EDO obtemos uma EDO de primeira ordem para p.

Passo 10

Resolvendo a equação de primeira ordem para p:
p'(x) = -x p(x).
Isto é uma equação separável. Separe as variáveis e integre:
\frac{p'(x)}{p(x)} = -x \quad\Rightarrow\quad \int \frac{p'(x)}{p(x)}\,dx = \int -x\,dx.
A integral do lado esquerdo é \ln|p(x)|. Assim
\ln|p(x)| = -\frac{x^{2}}{2} + C_{1},
onde C_{1} é uma constante. Exponenciando,
p(x)=y'(x)=C\, e^{-x^{2}/2},
onde C (vou chamar de C_1) é uma constante arbitrária não nula (pode ser zero também).

Passo 11

Agora integramos para obter y(x):
y(x)=\int y'(x)\,dx = \int C_{1} e^{-x^{2}/2}\,dx + C_{2}.
Aqui C_{2} é a constante de integração que surge ao integrar p. Portanto a solução geral é
y(x)=C_{1}\int e^{-x^{2}/2}\,dx + C_{2}.
Explicando: como não havia condições iniciais, temos duas constantes arbitrárias C_1 e C_2, correspondendo às duas constantes lineares independentes da solução geral de uma ODE linear de segunda ordem.

Passo 12

Podemos expressar a integral em série de potências ou em termos da função erro (função especial). Primeiro a série: expandindo e^{-x^{2}/2} em série de potências:
e^{-x^{2}/2}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k!}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{k}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{2^{k}k!}\, x^{2k}.
Integrando termo a termo,
\int e^{-x^{2}/2}\,dx = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{2^{k}k!}\,\frac{x^{2k+1}}{2k+1} + \text{const}.
Portanto uma forma em série da solução geral é
y(x)=C_{1}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{2^{k}k!}\,\frac{x^{2k+1}}{2k+1} + C_{2}.

Passo 13

Forma fechada usando função erro: lembrando a definição da função erro \operatorname{erf}(z),
\operatorname{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{z} e^{-t^{2}}\,dt,
fazendo a mudança de variável t = s/\sqrt{2} ou s=\sqrt{2}\,t é possível mostrar que
\int e^{-x^{2}/2}\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\,\operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+\text{const}.
Assim uma forma compacta da solução geral é
y(x)=C_{1}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,\operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + C_{2}.
(As constantes C_1 e C_2 absorvem fatores multiplicativos ou constantes de integração conforme desejado.)

Resposta

y(x)=C_{1}\int e^{-x^{2}/2}\,dx + C_{2}
\text{(equivalente)}\qquad y(x)=C_{1}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,\operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+C_{2}
\text{(forma em série)}\qquad y(x)=C_{1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2^{k}k!}\,\frac{x^{2k+1}}{2k+1}+C_{2}é

Exercícios relacionados