Calcule
\iint_{\mathrm{R}} f(x, y) d \mathrm{~A}
sendo dados:
f(x, y)=y \operatorname{sen} x y
e R é o retângulo de vértices
\left(0, \frac{\pi}{2}\right),\left(1, \frac{\pi}{2}\right),(1, \pi) \mathrm{e}(0, \pi).

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla de
f(x,y)=y\sin(xy)
sobre o retângulo
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;\tfrac{\pi}{2}\le y\le\pi\}.
O que precisamos é usar integração iterada: primeiro em x (mantendo y fixo), depois em y.

Passo 2

Calculamos a integral interna em x:
\int_{0}^{1}y\sin(xy)\,dx = y\int_{0}^{1}\sin(xy)\,dx = y\Bigl[-\tfrac{\cos(xy)}{y}\Bigr]_{0}^{1} = \bigl(-\cos(y)\bigr)-\bigl(-\cos(0)\bigr) =1-\cos(y).

Passo 3

Agora integramos em y:
\int_{\pi/2}^{\pi}\bigl(1-\cos(y)\bigr)\,dy =\int_{\pi/2}^{\pi}1\,dy \;-\;\int_{\pi/2}^{\pi}\cos(y)\,dy =\Bigl[y\Bigr]_{\pi/2}^{\pi}\;-\;\Bigl[\sin(y)\Bigr]_{\pi/2}^{\pi}.

Passo 4

Avaliando em y=\pi e y=\tfrac{\pi}{2}:
\Bigl[y\Bigr]_{\pi/2}^{\pi} =\pi-\tfrac{\pi}{2} =\tfrac{\pi}{2}, \qquad \Bigl[\sin(y)\Bigr]_{\pi/2}^{\pi} =0-1 =-1.
Portanto
\int_{\pi/2}^{\pi}(1-\cos(y))\,dy =\tfrac{\pi}{2}-(-1) =\tfrac{\pi}{2}+1.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}+1

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