Calcule
\iint_{\mathrm{R}} f(x, y) d \mathrm{~A}
sendo dados:
f(x, y)=8 x y
e R é o interior do trapezóide cujos os vértices são
(2,2),(4,2),(5,4)
e (1,4).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\displaystyle \iint_{R} f(x,y)\,dA
onde f(x,y)=8xy e R é o interior do trapézio de vértices (2,2), (4,2), (5,4) e (1,4).
O conteúdo é integração dupla por mudança para integrais iteradas: precisamos descrever R como
R=\{(x,y)\mid a\le y\le b,\;x_{\min}(y)\le x\le x_{\max}(y)\},
e depois integrar x primeiro e y depois.

Passo 2

Vamos achar as equações das retas que limitam R em função de y.
A reta que liga (2,2) a (1,4) tem coeficiente angular -\tfrac12, logo
x_{\min}(y)=2+(y-2)\Bigl(-\tfrac12\Bigr)=3-\tfrac y2.
A reta que liga (4,2) a (5,4) tem coeficiente angular \tfrac12, logo
x_{\max}(y)=4+(y-2)\Bigl(\tfrac12\Bigr)=3+\tfrac y2.
Em y varia de 2 (base inferior) até 4 (base superior).

Passo 3

Escrevemos então a integral iterada:
\iint_{R}8xy\,dA =\int_{y=2}^{4}\!\int_{x=3-\tfrac y2}^{\,3+\tfrac y2}8xy\,dx\,dy.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em x:
\int_{3-\tfrac y2}^{3+\tfrac y2}8xy\,dx =8y\int_{3-\tfrac y2}^{3+\tfrac y2}x\,dx =8y\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{\,3-\tfrac y2}^{\,3+\tfrac y2} =4y\bigl((3+\tfrac y2)^2-(3-\tfrac y2)^2\bigr).
Como (3+\tfrac y2)^2-(3-\tfrac y2)^2=(u^2-v^2)=(u-v)(u+v)=y\cdot6=6y, fica
\int_{3-\tfrac y2}^{3+\tfrac y2}8xy\,dx =4y\cdot6y=24y^2.

Passo 5

Agora integramos em y:
\int_{2}^{4}24y^2\,dy =24\Bigl[\tfrac{y^3}{3}\Bigr]_{2}^{4} =8\bigl(4^3-2^3\bigr) =8(64-8) =8\cdot56 =448.

Resposta

448

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