Calcule
\iint_{\mathrm{R}} f(x, y) d \mathrm{~A}
sendo dados:
f(x, y)=x^{3}+4 y
e R a região do plano
x y
delimitada pelos gráficos de
y=x^{2}
e
y=2 x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla de f(x,y)=x^3+4y sobre a região R delimitada pelas curvas y=x^2 e y=2x. Vamos usar a definição de integral dupla em coordenadas cartesianas e montar uma integral iterada.

Passo 2

Determine os pontos de interseção resolvendo
x^2 = 2x
que dá x=0 e x=2. Para x em [0,2], tem-se x^2 \le 2x, logo y varia de y=x^2 até y=2x.

Passo 3

Monte a integral iterada:
\iint_{R}f(x,y)\,dA =\int_{x=0}^{2}\int_{y=x^2}^{2x}\bigl(x^3+4y\bigr)\,dy\,dx.

Passo 4

Calcule a integral interna em y:
\int_{x^2}^{2x}(x^3+4y)\,dy =x^3(2x - x^2) +4\left[\frac{y^2}{2}\right]_{x^2}^{2x} =2x^4 - x^5 +2\bigl((2x)^2 - (x^2)^2\bigr) =-x^5 +8x^2.

Passo 5

Calcule a integral externa em x:
\int_{0}^{2}\bigl(-x^5+8x^2\bigr)\,dx =\left[-\frac{x^6}{6}+\frac{8x^3}{3}\right]_{0}^{2} =-\frac{64}{6}+\frac{64}{3} =\frac{32}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{32}{3}

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