Calcule calcule \iint_{\mathrm{S}} \mathrm{F} \cdot \mathrm{ds} para o campo vetorial
\mathrm{F}(\mathrm{x}, y, z)=-x \mathbf{i}-y \mathbf{j}+z^{2} \mathbf{k}
onde S é parte do cone z=\sqrt{x+y^{2}} entre os planos z=1 e z=2, orientada positivamente.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathrm{F}(x,y,z) = -x\,\mathbf{i} - y\,\mathbf{j} + z^{2}\,\mathbf{k}
e pede o fluxo \iint_{S}\mathrm{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{s} sobre a parte do cone z=\sqrt{x+y^{2}} entre os planos z=1 e z=2, orientada positivamente.
Observação importante (para não gerar confusão): a fórmula escrita no enunciado z=\sqrt{x+y^{2}} não descreve um cone matricialmente simétrico em torno do eixo z; normalmente, em problemas clássicos de fluxo sobre um “cone” entre z=1 e z=2 a superfície correta é
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
ou seja, z=r em coordenadas cilíndricas. Vou assumir que o enunciado quis dizer o cone usual
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
entre z=1 e z=2. Também interpreto “orientada positivamente” como a normal com componente k positiva (normal apontando para cima), que é a escolha padrão aqui.
Dados relevantes listados:
\mathrm{F}(x,y,z) = (-x,-y,z^{2}),
superfície S é a parte do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} com 1\le z\le 2,
orientação escolhida com componente k>0.
A tarefa: calcular \iint_{S}\mathrm{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{s}.

Passo 2

Vamos escolher uma parametrização conveniente do cone usando coordenadas cilíndricas, porque o cone tem simetria radial. Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) com x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, o cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} vira simplesmente z=r. Portanto uma parametrização natural é, para 1\le r\le 2 e 0\le\theta\le 2\pi,
\mathbf{r}(r,\theta) = \big(r\cos\theta,\; r\sin\theta,\; r\big).
Aqui r e \theta são os parâmetros que varrem toda a porção do cone entre z=1 e z=2.
Explicação do método (fórmula usada): se \mathbf{r}(u,v) é uma parametrização orientada (ou seja, \mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v} tem a direção da orientação escolhida), o fluxo é
\iint_{S}\mathrm{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{s} = \iint_{D} \mathrm{F}(\mathbf{r}(u,v))\cdot\big(\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}\big)\, \mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.
Aqui daremos u=r e v=\theta. Essa fórmula usa o vetor de área orientado \mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v} (não normalizado), que já incorpora dS e a orientação.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais da parametrização \mathbf{r}(r,\theta):
\mathbf{r}_{r}(r,\theta)=\big(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1\big),
\mathbf{r}_{\theta}(r,\theta)=\big(-r\sin\theta,\; r\cos\theta,\;0\big).
Agora o produto vetorial (vamos escolher a ordem \mathbf{r}_{r}\times\mathbf{r}_{\theta} e depois checar a componente k para garantir orientação com k>0):
\mathbf{r}_{r}\times\mathbf{r}_{\theta} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] \cos\theta & \sin\theta & 1\\[4pt] -r\sin\theta & r\cos\theta & 0 \end{vmatrix}.
Calculando o determinante termo a termo:
  • componente \mathbf{i}: \sin\theta\cdot 0 - 1\cdot r\cos\theta = -r\cos\theta,
  • componente \mathbf{j}: -\big(\cos\theta\cdot 0 - 1\cdot(-r\sin\theta)\big) = - (0 + r\sin\theta) = -r\sin\theta,
  • componente \mathbf{k}: \cos\theta\cdot r\cos\theta - \sin\theta\cdot(-r\sin\theta) = r(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r.
Portanto
\mathbf{r}_{r}\times\mathbf{r}_{\theta} = \big(-r\cos\theta,\; -r\sin\theta,\; r\big).
A componente k é r>0 (para 1\le r\le 2), logo esta escolha de produto vetorial dá a orientação com componente k positiva, que é a orientação “positiva” que assumimos. Esse vetor de área orientado será usado no produto escalar com \mathrm{F}.]

Passo 4

Avalie o campo \mathrm{F} na superfície (substituindo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=r):
\mathrm{F}(\mathbf{r}(r,\theta)) = \big(-r\cos\theta,\; -r\sin\theta,\; r^{2}\big).
Agora calculamos o produto escalar \mathrm{F}(\mathbf{r})\cdot(\mathbf{r}_{r}\times\mathbf{r}_{\theta}):
\mathrm{F}\cdot(\mathbf{r}_{r}\times\mathbf{r}_{\theta}) = (-r\cos\theta)(-r\cos\theta) + (-r\sin\theta)(-r\sin\theta) + r^{2}\cdot r.
Simplificando termo a termo:
(-r\cos\theta)(-r\cos\theta) = r^{2}\cos^{2}\theta,
(-r\sin\theta)(-r\sin\theta) = r^{2}\sin^{2}\theta,
r^{2}\cdot r = r^{3}.
Somando:
\mathrm{F}\cdot(\mathbf{r}_{r}\times\mathbf{r}_{\theta}) = r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta + r^{3} = r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta) + r^{3} = r^{2} + r^{3}.

Passo 5

Agora escrevemos o fluxo como integral dupla sobre o domínio dos parâmetros: r\in[1,2], \theta\in[0,2\pi]:
\iint_{S}\mathrm{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{s} = \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2} \big(r^{2} + r^{3}\big)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
Note que já incorporamos o fator de área (o módulo do vetor de área orientado) no produto escalar realizado.

Passo 6

Calcule a integral em r primeiro:
\int_{1}^{2} \big(r^{2}+r^{3}\big)\,\mathrm{d}r = \int_{1}^{2} r^{2}\,\mathrm{d}r + \int_{1}^{2} r^{3}\,\mathrm{d}r = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{1}^{2} + \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{1}^{2}.
Avaliaremos cada termo:
\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = \frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3},
\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{1}^{2} = \frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}.
Somando:
\int_{1}^{2} \big(r^{2}+r^{3}\big)\,\mathrm{d}r = \frac{7}{3} + \frac{15}{4} = \frac{28}{12} + \frac{45}{12} = \frac{73}{12}.

Passo 7

Agora integramos em \theta:
\iint_{S}\mathrm{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{s} = \int_{0}^{2\pi} \frac{73}{12}\,\mathrm{d}\theta = \frac{73}{12}\cdot \big[ \theta \big]_{0}^{2\pi} = \frac{73}{12}\cdot 2\pi = \frac{73\pi}{6}.

Resposta

\dfrac{73\pi}{6}

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