e pede o fluxo \iint_{S}\mathrm{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{s} sobre a parte do cone z=\sqrt{x+y^{2}} entre os planos z=1 e z=2, orientada positivamente.
Observação importante (para não gerar confusão): a fórmula escrita no enunciado z=\sqrt{x+y^{2}} não descreve um cone matricialmente simétrico em torno do eixo z; normalmente, em problemas clássicos de fluxo sobre um “cone” entre z=1 e z=2 a superfície correta é
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
ou seja, z=r em coordenadas cilíndricas. Vou assumir que o enunciado quis dizer o cone usual
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
entre z=1 e z=2. Também interpreto “orientada positivamente” como a normal com componente k positiva (normal apontando para cima), que é a escolha padrão aqui.
Dados relevantes listados:
\mathrm{F}(x,y,z) = (-x,-y,z^{2}),
superfície S é a parte do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} com 1\le z\le 2,
orientação escolhida com componente k>0.
A tarefa: calcular \iint_{S}\mathrm{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{s}.
Passo 2
Vamos escolher uma parametrização conveniente do cone usando coordenadas cilíndricas, porque o cone tem simetria radial. Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) com x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, o cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} vira simplesmente z=r. Portanto uma parametrização natural é, para 1\le r\le 2 e 0\le\theta\le 2\pi,
Aqui r e \theta são os parâmetros que varrem toda a porção do cone entre z=1 e z=2.
Explicação do método (fórmula usada): se \mathbf{r}(u,v) é uma parametrização orientada (ou seja, \mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v} tem a direção da orientação escolhida), o fluxo é
Aqui daremos u=r e v=\theta. Essa fórmula usa o vetor de área orientado \mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v} (não normalizado), que já incorpora dS e a orientação.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais da parametrização \mathbf{r}(r,\theta):
Agora o produto vetorial (vamos escolher a ordem \mathbf{r}_{r}\times\mathbf{r}_{\theta} e depois checar a componente k para garantir orientação com k>0):
A componente k é r>0 (para 1\le r\le 2), logo esta escolha de produto vetorial dá a orientação com componente k positiva, que é a orientação “positiva” que assumimos. Esse vetor de área orientado será usado no produto escalar com \mathrm{F}.]
Passo 4
Avalie o campo \mathrm{F} na superfície (substituindo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=r):