Seja F(x, y)=(3+2 x y) \mathbf{i}+\left(x^{2}-3 y^{2}\right) \mathbf{j}, encontre uma função f tal que f=\nabla F. E, calcule a integral de linha \oint_{C} F \cdot d r, onde C é a parte da espiral parametrizada por
r(t)=e^{t} \cos (t) \mathbf{i}+e^{t} \operatorname{sen}(t), \quad 0 \leq t \leq \pi .

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial F(x,y)=(3+2xy)\mathbf{i}+\left(x^{2}-3y^{2}\right)\mathbf{j} e a curva C que é a parte da espiral dada por
r(t)=e^{t}\cos(t)\,\mathbf{i}+e^{t}\sin(t)\,\mathbf{j},\quad 0\le t\le\pi.
As perguntas são duas:
  1. Encontrar uma função f tal que \nabla f = F (ou seja, achar um potencial escalar f(x,y) cujo gradiente é F).
  2. Calcular a integral de linha \displaystyle\oint_{C} F\cdot dr ao longo da curva C parametrizada acima (note que a curva é a porção para 0\le t\le\pi, com início em t=0 e fim em t=\pi).
Informações relevantes do enunciado que vamos usar:
  • As componentes de F são P(x,y)=3+2xy e Q(x,y)=x^{2}-3y^{2}.
  • A parametrização r(t) fornece os pontos inicial e final de C quando necessário (para t=0 e t=\pi).

Passo 2

Verificação da existência de um potencial: para que exista uma função f com \nabla f=F em um domínio simplesmente conectado, precisamos que as derivadas parciais cruzadas coincidam, isto é,
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Aqui P(x,y)=3+2xy e Q(x,y)=x^{2}-3y^{2}. Vamos calcular cada derivada parcial, tratando as variáveis independentemente (quando derivamos por y, x é vista como constante, e vice-versa):
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(3+2xy)=2x,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-3y^{2})=2x.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x para todos (x,y), o campo satisfaz a condição de ser gradiente (e o domínio \mathbb{R}^2 é simplesmente conectado), portanto existe um potencial f tal que \nabla f=F.

Passo 3

Construção do potencial: pela definição de gradiente temos as equações
\frac{\partial f}{\partial x}=P(x,y)=3+2xy, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=Q(x,y)=x^{2}-3y^{2}.
Começamos integrando \partial f/\partial x em relação a x, tratando y como constante. Essa é a técnica padrão: integrar a componente x para obter f até uma função “constante” que pode depender de y.
f(x,y)=\int(3+2xy)\,dx=3x+x^{2}y+g(y),
onde g(y) é uma função arbitrária de y (pois a derivação parcial em x de g(y) é zero).

Passo 4

Determinação de g(y): agora derivamos a expressão obtida para f em relação a y e igualamos a Q(x,y):
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+g'(y).
Devemos ter \frac{\partial f}{\partial y}=Q(x,y)=x^{2}-3y^{2}. Igualando,
x^{2}+g'(y)=x^{2}-3y^{2}\quad\Rightarrow\quad g'(y)=-3y^{2}.
Integramos em relação a y:
g(y)=\int -3y^{2}\,dy=-y^{3}+C,
onde C é constante. Assim um potencial conveniente (podemos tomar C=0 sem perda de generalidade) é
f(x,y)=3x+x^{2}y-y^{3}.

Passo 5

Regra prática para calcular a integral de linha: quando F=\nabla f, a integral de linha ao longo de uma curva orientada de um ponto A até B é dada pelo Teorema Fundamental para gradientes:
\int_{C}F\cdot dr=f(B)-f(A),
ou seja, basta avaliar o potencial nos extremos da trajetória. Aqui a curva C é orientada segundo a parametrização r(t) com t indo de 0 a \pi; portanto o ponto inicial é r(0) e o final é r(\pi).

Passo 6

Calcular os pontos inicial e final usando a parametrização. Para t=0:
r(0)=\bigl(e^{0}\cos 0,\; e^{0}\sin 0\bigr)=(1,0).
Para t=\pi:
r(\pi)=\bigl(e^{\pi}\cos\pi,\; e^{\pi}\sin\pi\bigr)=\bigl(-e^{\pi},\,0\bigr).
(Repare que eu usei diretamente a parametrização fornecida para obter as coordenadas; isso é direto.)

Passo 7

Avaliar o potencial nos extremos e computar a integral:
Primeiro, f(1,0)=3\cdot 1 + 1^{2}\cdot 0 - 0^{3}=3.
Segundo, f(-e^{\pi},0)=3(-e^{\pi}) + (-e^{\pi})^{2}\cdot 0 - 0^{3}=-3e^{\pi}.
Portanto, usando o Teorema Fundamental,
\int_{C}F\cdot dr = f\bigl(r(\pi)\bigr)-f\bigl(r(0)\bigr) = -3e^{\pi}-3 = -3\bigl(e^{\pi}+1\bigr).

Resposta

f(x,y)=3x+x^{2}y-y^{3}
\displaystyle \int_{C}F\cdot dr=-3\bigl(e^{\pi}+1\bigr)

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