Seja
, encontre uma função
tal que
. E, calcule a integral de linha
, onde
é a parte da espiral parametrizada por
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a curva
que é a parte da espiral dada por
As perguntas são duas:
- Encontrar uma função
tal que (ou seja, achar um potencial escalar cujo gradiente é ). - Calcular a integral de linha
ao longo da curva parametrizada acima (note que a curva é a porção para , com início em e fim em ).
Informações relevantes do enunciado que vamos usar:
- As componentes de
são e . - A parametrização
fornece os pontos inicial e final de quando necessário (para e ).
Passo 2
Verificação da existência de um potencial: para que exista uma função
com
em um domínio simplesmente conectado, precisamos que as derivadas parciais cruzadas coincidam, isto é,
Aqui
e
. Vamos calcular cada derivada parcial, tratando as variáveis independentemente (quando derivamos por
,
é vista como constante, e vice-versa):
Como
para todos
, o campo satisfaz a condição de ser gradiente (e o domínio
é simplesmente conectado), portanto existe um potencial
tal que
.
Passo 3
Construção do potencial: pela definição de gradiente temos as equações
Começamos integrando
em relação a
, tratando
como constante. Essa é a técnica padrão: integrar a componente
para obter
até uma função “constante” que pode depender de
.
onde
é uma função arbitrária de
(pois a derivação parcial em
de
é zero).
Passo 4
Determinação de
: agora derivamos a expressão obtida para
em relação a
e igualamos a
:
Devemos ter
. Igualando,
Integramos em relação a
:
onde
é constante. Assim um potencial conveniente (podemos tomar
sem perda de generalidade) é
Passo 5
Regra prática para calcular a integral de linha: quando
, a integral de linha ao longo de uma curva orientada de um ponto
até
é dada pelo Teorema Fundamental para gradientes:
ou seja, basta avaliar o potencial nos extremos da trajetória. Aqui a curva
é orientada segundo a parametrização
com
indo de
a
; portanto o ponto inicial é
e o final é
.
Passo 6
Calcular os pontos inicial e final usando a parametrização. Para
:
Para
:
(Repare que eu usei diretamente a parametrização fornecida para obter as coordenadas; isso é direto.)
Passo 7
Avaliar o potencial nos extremos e computar a integral:
Primeiro,
Segundo,
Portanto, usando o Teorema Fundamental,
Primeiro,
Segundo,
Portanto, usando o Teorema Fundamental,