1- Encontre o polinômio de Taylor de ordem 2, isto é,
, associado a função
no ponto
, onde a função
é dada por:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o polinômio de Taylor de ordem
,
, da função
dada por
no ponto
.
Informações fornecidas:
A tarefa é calcular
, ou seja, a aproximação quadrática de
centrada em
.
Passo 2
Vou lembrar qual é a fórmula do polinômio de Taylor de ordem
para uma função de duas variáveis centrada em
. Essa fórmula nos dá a aproximação até termos quadráticos e usa derivadas parciais até segunda ordem:
Explicando os termos:
-
são as derivadas parciais de primeira ordem (derivar em relação a ou a , tratando a outra variável como constante). -
são derivadas parciais de segunda ordem (por exemplo, ). - O fator
aparece porque estamos incluindo termos quadráticos como em uma expansão de Taylor univariada.
Aqui vamos ter
, então na prática substituímos
por
e
por
.
Passo 3
Calculemos primeiro
. Usando a definição:
Passo 4
Agora calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Como
, cada termo depende apenas da sua própria variável, então:
- Para derivar em relação a
usamos a regra do produto em :
Portanto
- Análogo para
:
Observação: ao calcular
tratamos
como constante (mas o termo em
não depende de
, então não contribui).
Passo 5
Avaliar as derivadas de primeira ordem no ponto
. Sabemos que
e
. Então
Passo 6
Calculemos as derivadas parciais de segunda ordem. Começando por
: derivamos
em relação a
:
- derivada de
é ; - derivada de
pela regra do produto é .
Somando,
Analogamente, para
,
Os mistas
e
: como
depende só de
e
só de
, ao derivar em relação à outra variável obtemos zero:
Passo 7
Avaliar as segundas derivadas em
. Usando
e
:
Passo 8
Agora substituímos tudo na fórmula do Passo 2 com
. Lembrando que
e
, temos apenas os termos quadráticos:
Substituindo os valores de
:
Passo 9
Checagem rápida (intuição): a expansão em série de uma variável dá
, então
. Aplicando isso a
e
obtemos
, consistente com
.