1- Encontre o polinômio de Taylor de ordem 2, isto é, p_{2}(x, y), associado a função f no ponto \left(x_{0}, y_{0}\right)=(0,0), onde a função f: \Re^{2} \rightarrow \Re é dada por:
f(x, y)=x \operatorname{sen}(x)+y \operatorname{sen}(y)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o polinômio de Taylor de ordem 2, p_{2}(x,y), da função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por
f(x,y)=x\operatorname{sen}(x)+y\operatorname{sen}(y)
no ponto \left(x_{0},y_{0}\right)=(0,0).
Informações fornecidas:
f(x,y)=x\operatorname{sen}(x)+y\operatorname{sen}(y),\qquad (x_0,y_0)=(0,0).
A tarefa é calcular p_{2}(x,y), ou seja, a aproximação quadrática de f centrada em (0,0).

Passo 2

Vou lembrar qual é a fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2 para uma função de duas variáveis centrada em (x_0,y_0). Essa fórmula nos dá a aproximação até termos quadráticos e usa derivadas parciais até segunda ordem:
p_{2}(x,y)=f(x_0,y_0)+f_{x}(x_0,y_0)(x-x_0)+f_{y}(x_0,y_0)(y-y_0) +\frac{1}{2}\Big(f_{xx}(x_0,y_0)(x-x_0)^2+2f_{xy}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)+f_{yy}(x_0,y_0)(y-y_0)^2\Big).
Explicando os termos:
  • f_x,f_y são as derivadas parciais de primeira ordem (derivar em relação a x ou a y, tratando a outra variável como constante).
  • f_{xx},f_{yy},f_{xy} são derivadas parciais de segunda ordem (por exemplo, f_{xx}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}).
  • O fator \dfrac{1}{2} aparece porque estamos incluindo termos quadráticos como em uma expansão de Taylor univariada.
Aqui vamos ter x_0=y_0=0, então na prática substituímos (x-x_0) por x e (y-y_0) por y.

Passo 3

Calculemos primeiro f(0,0). Usando a definição:
f(0,0)=0\cdot\operatorname{sen}(0)+0\cdot\operatorname{sen}(0)=0.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Como f(x,y)=x\operatorname{sen}(x)+y\operatorname{sen}(y), cada termo depende apenas da sua própria variável, então:
  • Para derivar em relação a x usamos a regra do produto em x\operatorname{sen}(x):
\frac{\partial}{\partial x}\big(x\operatorname{sen}(x)\big)=\operatorname{sen}(x)+x\cos(x).
Portanto
f_x(x,y)=\operatorname{sen}(x)+x\cos(x).
  • Análogo para y:
f_y(x,y)=\operatorname{sen}(y)+y\cos(y).
Observação: ao calcular f_x tratamos y como constante (mas o termo em y não depende de x, então não contribui).

Passo 5

Avaliar as derivadas de primeira ordem no ponto (0,0). Sabemos que \operatorname{sen}(0)=0 e \cos(0)=1. Então
f_x(0,0)=\operatorname{sen}(0)+0\cdot\cos(0)=0,
f_y(0,0)=\operatorname{sen}(0)+0\cdot\cos(0)=0.

Passo 6

Calculemos as derivadas parciais de segunda ordem. Começando por f_{xx}: derivamos f_x(x,y)=\operatorname{sen}(x)+x\cos(x) em relação a x:
  • derivada de \operatorname{sen}(x) é \cos(x);
  • derivada de x\cos(x) pela regra do produto é \cos(x)-x\sin(x).
    Somando,
f_{xx}(x,y)=\cos(x)+\cos(x)-x\sin(x)=2\cos(x)-x\sin(x).
Analogamente, para f_{yy},
f_{yy}(x,y)=2\cos(y)-y\sin(y).
Os mistas f_{xy} e f_{yx}: como f_x depende só de x e f_y só de y, ao derivar em relação à outra variável obtemos zero:
f_{xy}(x,y)=0,\qquad f_{yx}(x,y)=0.

Passo 7

Avaliar as segundas derivadas em (0,0). Usando \cos(0)=1 e \sin(0)=0:
f_{xx}(0,0)=2\cos(0)-0\cdot\sin(0)=2,
f_{yy}(0,0)=2\cos(0)-0\cdot\sin(0)=2,
f_{xy}(0,0)=0.

Passo 8

Agora substituímos tudo na fórmula do Passo 2 com x_0=y_0=0. Lembrando que f(0,0)=0 e f_x(0,0)=f_y(0,0)=0, temos apenas os termos quadráticos:
p_{2}(x,y)=0+0\cdot x+0\cdot y+\frac{1}{2}\big(f_{xx}(0,0)x^2+2f_{xy}(0,0)xy+f_{yy}(0,0)y^2\big).
Substituindo os valores de f_{xx},f_{xy},f_{yy}:
p_{2}(x,y)=\frac{1}{2}\big(2x^2+2\cdot 0\cdot xy+2y^2\big)=\frac{1}{2}(2x^2+2y^2)=x^2+y^2.

Passo 9

Checagem rápida (intuição): a expansão em série de uma variável dá \operatorname{sen}(t)=t-\tfrac{t^3}{6}+\cdots, então t\operatorname{sen}(t)=t^2+O(t^4). Aplicando isso a x e y obtemos x\operatorname{sen}(x)+y\operatorname{sen}(y)=x^2+y^2+O(\|(x,y)\|^4), consistente com p_2(x,y)=x^2+y^2.

Resposta

p_{2}(x,y)=x^{2}+y^{2}

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