(1.25 pontos) Encontre a série de MacLaurin de f(x)=e^{-x^{3}}.

Passo 1

Enunciado: encontrar a série de MacLaurin da função f(x)=e^{-x^{3}}.
O que nos é dado: a expressão explícita de f(x).
O que se pede: escrever a expansão em série de potências centrada em x=0 (série de MacLaurin) que representa f(x).

Passo 2

Lembrete do que é uma série de MacLaurin (sem resolver ainda): a série de Maclaurin de uma função f é a série de potências centrada em zero dada por
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n},
onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0.
Mas aqui existe um caminho muito mais curto: usamos uma série conhecida que todo mundo decorou (e que você pode justificar na prova). A expansão em série de Taylor (em torno de 0) da função exponencial é
e^{t}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!},
válida para todo t\in\mathbb{R} (raio de convergência infinito). Na fórmula, t é a variável da exponencial — vamos escolher t adequado para representar e^{-x^{3}}.

Passo 3

Substituímos t=-x^{3} na série de e^{t}. Fazendo isso obtemos
e^{-x^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x^{3})^{n}}{n!}.
Agora simplificamos a potência: ( -x^{3})^{n}=(-1)^{n}x^{3n}. Portanto
e^{-x^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{3n}}{n!}.

Passo 4

Escrevendo os primeiros termos dessa série para ficar mais concreto:
e^{-x^{3}}=1 - x^{3} + \frac{x^{6}}{2!} - \frac{x^{9}}{3!} + \frac{x^{12}}{4!} - \cdots.
Observação didática: note que só aparecem potências de x que são múltiplos de 3 (ou seja, x^{0},x^{3},x^{6},\dots). Isso acontece porque a entrada na exponencial é -x^{3}.

Passo 5

Justificativa da validade (convergência): como a série de e^{t} converge para todo t, a série obtida por t=-x^{3} converge para todo x. Um rápido teste da razão confirma: para o termo geral a_{n}=\dfrac{(-1)^{n}x^{3n}}{n!} temos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{|x|^{3}}{n+1}\xrightarrow{n\to\infty}0,
logo a série converge para todo x. Então a expansão que escrevemos representa f(x) para todo x.

Resposta

e^{-x^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{3n}}{n!}
e^{-x^{3}}=1 - x^{3} + \frac{x^{6}}{2!} - \frac{x^{9}}{3!} + \cdots

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