(2,0) Calcule \iint_{\Omega}\left(4 x^{2}+3 x y\right) d A onde \Omega=[1,5] \times[0,3].

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral duplo da função
f(x,y)=4x^{2}+3xy
sobre o retângulo \Omega=[1,5]\times[0,3].
O conteúdo é aplicação do Teorema de Fubini em integrais duplas sobre retângulos, ou seja, transformamos a integral de área em uma integral iterada.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, escrevemos
\iint_{\Omega}\bigl(4x^{2}+3xy\bigr)\,dA =\int_{x=1}^{5}\!\!\int_{y=0}^{3}\bigl(4x^{2}+3xy\bigr)\,dy\,dx.

Passo 3

Primeiro integramos em y, tratando x como constante:
\int_{0}^{3}\bigl(4x^{2}+3xy\bigr)\,dy =4x^{2}\int_{0}^{3}dy+3x\int_{0}^{3}y\,dy =4x^{2}\cdot3+3x\cdot\frac{3^{2}}{2} =12x^{2}+\frac{27}{2}x.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{1}^{5}\Bigl(12x^{2}+\frac{27}{2}x\Bigr)\,dx =\left[4x^{3}+\frac{27}{4}x^{2}\right]_{1}^{5} =\Bigl(4\cdot5^{3}+\tfrac{27}{4}\cdot5^{2}\Bigr) -\Bigl(4\cdot1^{3}+\tfrac{27}{4}\cdot1^{2}\Bigr).
Calculando os valores:
4\cdot5^{3}=500,\quad \frac{27}{4}\cdot5^{2}=\frac{675}{4},\quad 4\cdot1^{3}=4,\quad \frac{27}{4}\cdot1^{2}=\frac{27}{4},
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500+\frac{675}{4}-\Bigl(4+\frac{27}{4}\Bigr) =\frac{2000+675-16-27}{4} =\frac{2632}{4} =658.

Resposta

658

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