(2,0) Calcule \iint_{\Omega} x y^{2} d A onde \Omega é a região do primeiro quadrante limitada por x=3, y=0 e y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado nos pede calcular a integral dupla
\iint_{\Omega} x\,y^{2}\,dA
onde \Omega é a região no primeiro quadrante limitada por x=3, y=0 e y=x^{2}.
O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas e vamos precisar parametrizar corretamente a região para montar a integral iterada.

Passo 2

A região \Omega descrita por y=0 (eixo x), y=x^{2} (parábola) e x=3 (reta vertical) corresponde a
0 \le x \le 3, \quad 0 \le y \le x^{2}.
Logo, a integral fica
\iint_{\Omega} x\,y^{2}\,dA = \int_{x=0}^{3}\!\int_{y=0}^{x^{2}} x\,y^{2}\,dy\,dx.

Passo 3

Primeiro integramos em y:
\int_{y=0}^{x^{2}} x\,y^{2}\,dy = x \,\int_{0}^{x^{2}} y^{2}\,dy = x \,\biggl[\frac{y^{3}}{3}\biggr]_{0}^{x^{2}} = x \,\frac{(x^{2})^{3}}{3} = \frac{x\,x^{6}}{3} = \frac{x^{7}}{3}.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{0}^{3} \frac{x^{7}}{3}\,dx = \frac{1}{3}\,\int_{0}^{3} x^{7}\,dx = \frac{1}{3}\,\biggl[\frac{x^{8}}{8}\biggr]_{0}^{3} = \frac{1}{3}\cdot\frac{3^{8}}{8} = \frac{6561}{24} = \frac{2187}{8}.

Resposta

\iint_{\Omega} x\,y^{2}\,dA = \frac{2187}{8}.

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