(2,0) Calcule \iint_{\Omega} x\left(x^{2}+y^{2}\right) d A sendo \Omega a região limitada por x^{2}+y^{2} \leq 4.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\iint_{\Omega} x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA
onde \Omega é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le4\}.
O conteúdo aqui envolve integração dupla, exploração de simetria e transformação para coordenadas polares.

Passo 2

Note que a função (x,y)\mapsto x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) é ímpar em x, ou seja,
f(-x,y)=-f(x,y),
enquanto o domínio \Omega é simétrico em relação ao eixo y.
Nessas condições, a contribuição de cada ponto (x,y) é cancelada pela de (-x,y), de modo que o integral vale zero.

Passo 3

Para confirmar por coordenadas polares, faça
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,
com r\in[0,2] e \theta\in[0,2\pi]. Então a integral torna-se
\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2} \bigl(r\cos\theta\bigr)\,(r^{2})\,r\,dr\,d\theta = \Bigl(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta\Bigr)\,\Bigl(\int_{0}^{2}r^{4}\,dr\Bigr).
Como
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0,
o resultado é zero.

Resposta

0

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