(2, 0) Calcule
sendo
é a região do primeiro quadrante limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a região no primeiro quadrante limitada pelos círculos
e
.
O conteúdo principal aqui é mudança para coordenadas polares, pois as fronteiras são círculos centrados na origem.
O conteúdo principal aqui é mudança para coordenadas polares, pois as fronteiras são círculos centrados na origem.
Passo 2
Em coordenadas polares fazemos
Então
e o jacobiano dá mais um fator
, ficando o integrando
A região
vira
Logo a integral é
Passo 3
Como o integrando separa em função de
vezes função de
, escrevemos
Primeiro a parte em
:
Passo 4
Agora a parte em
:
Use a substituição
,
.
Quando ,
; quando
,
. A integral fica
Quando
Passo 5
Multiplicando os resultados radial e angular, obtemos