(2, 0) Calcule \iint_{\Omega} x^{2} y d A sendo \Omega é a região do primeiro quadrante limitada por x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=16.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{\Omega} x^{2}y\,dA
onde \Omega é a região no primeiro quadrante limitada pelos círculos x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=16.
O conteúdo principal aqui é mudança para coordenadas polares, pois as fronteiras são círculos centrados na origem.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta.
Então
x^{2}y = (r\cos\theta)^{2}\,(r\sin\theta) = r^{3}\cos^{2}\theta\,\sin\theta
e o jacobiano dá mais um fator r, ficando o integrando
r^{4}\cos^{2}\theta\,\sin\theta.
A região \Omega vira
1 \le r \le 4,\quad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.
Logo a integral é
\iint_{\Omega} x^{2}y\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\!\int_{r=1}^{4} r^{4}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 3

Como o integrando separa em função de r vezes função de \theta, escrevemos
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,d\theta \;\times\; \int_{1}^{4}r^{4}\,dr.
Primeiro a parte em r:
\int_{1}^{4}r^{4}\,dr = \biggl[\frac{r^{5}}{5}\biggr]_{1}^{4} = \frac{4^{5}-1^{5}}{5} = \frac{1024-1}{5} = \frac{1023}{5}.

Passo 4

Agora a parte em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,\sin\theta\,d\theta.
Use a substituição u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta.
Quando \theta=0, u=1; quando \theta=\pi/2, u=0. A integral fica
\int_{u=1}^{0}u^{2}(-du) = \int_{0}^{1}u^{2}\,du = \biggl[\frac{u^{3}}{3}\biggr]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.

Passo 5

Multiplicando os resultados radial e angular, obtemos
\frac{1023}{5}\times\frac{1}{3} = \frac{1023}{15} = \frac{341}{5}.

Resposta

\frac{341}{5}

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