Calcule: \iint_{R} x+2 y d x d y onde R é o disco D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq 2\right\} limitado no primeiro quadrante;
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral dupla
\iint_{R} (x+2y)\,dx\,dy
onde R é o disco \{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\;x^2+y^2\le 2\} limitado ao primeiro quadrante.
Informações relevantes:
A região R é a parte do disco de raio \sqrt{2} que está no primeiro quadrante, ou seja, x\ge0 e y\ge0.
A função a integrar é x+2y.
A tarefa é calcular essa integral dupla sobre a região descrita.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares?
Quando a região é circular (um disco), coordenadas polares deixam os limites muito simples: círculos viram condições em r (distância ao centro) e quadrantes viram intervalos em \theta (ângulo). Em coordenadas polares usamos as substituições
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
O elemento de área dx\,dy se transforma em r\,dr\,d\theta. Esse fator r vem do determinante da transformação (o chamado Jacobiano); geometricamente é porque pequenos retângulos em (r,\theta) têm área aproximada r\,dr\,d\theta.
Passo 3
Definir os limites de integração em coordenadas polares:
Como R é o disco de raio \sqrt{2} limitado ao primeiro quadrante, o raio r varia de 0 até \sqrt{2}. Então
0\le r\le \sqrt{2}.
Primeiro quadrante corresponde a ângulos entre 0 e \pi/2. Então
0\le \theta \le \frac{\pi}{2}.
Passo 4
Substituir a função integranda e o elemento de área: