Calcule:
\iint_{R} x+2 y d x d y onde R é o disco D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq 2\right\} limitado no primeiro quadrante;

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral dupla
\iint_{R} (x+2y)\,dx\,dy
onde R é o disco \{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\;x^2+y^2\le 2\} limitado ao primeiro quadrante.
Informações relevantes:
  • A região R é a parte do disco de raio \sqrt{2} que está no primeiro quadrante, ou seja, x\ge0 e y\ge0.
  • A função a integrar é x+2y.
    A tarefa é calcular essa integral dupla sobre a região descrita.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares?
Quando a região é circular (um disco), coordenadas polares deixam os limites muito simples: círculos viram condições em r (distância ao centro) e quadrantes viram intervalos em \theta (ângulo). Em coordenadas polares usamos as substituições
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
O elemento de área dx\,dy se transforma em r\,dr\,d\theta. Esse fator r vem do determinante da transformação (o chamado Jacobiano); geometricamente é porque pequenos retângulos em (r,\theta) têm área aproximada r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Definir os limites de integração em coordenadas polares:
  • Como R é o disco de raio \sqrt{2} limitado ao primeiro quadrante, o raio r varia de 0 até \sqrt{2}. Então
0\le r\le \sqrt{2}.
  • Primeiro quadrante corresponde a ângulos entre 0 e \pi/2. Então
0\le \theta \le \frac{\pi}{2}.

Passo 4

Substituir a função integranda e o elemento de área:
x+2y = r\cos\theta + 2r\sin\theta = r(\cos\theta + 2\sin\theta).
Multiplicando pelo Jacobiano r obtemos o integrando em (r,\theta):
(x+2y)\,dx\,dy \longrightarrow r(\cos\theta+2\sin\theta)\cdot r\,dr\,d\theta = r^{2}(\cos\theta+2\sin\theta)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Montar a integral em polares com os limites encontrados:
\iint_{R} (x+2y)\,dx\,dy = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{\sqrt{2}} r^{2}(\cos\theta+2\sin\theta)\,dr\,d\theta.

Passo 6

Integrar em r primeiro (integramos r^{2} em relação a r):
\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{2}\,dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^{3}}{3}.
Calcular (\sqrt{2})^{3}: (\sqrt{2})^{3} = (\sqrt{2})^{2}\cdot\sqrt{2} = 2\sqrt{2}. Portanto
\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{2}\,dr = \frac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 7

A integral reduz-se a um fator multiplicativo vezes a integral em \theta:
\iint_{R} (x+2y)\,dx\,dy = \frac{2\sqrt{2}}{3}\int_{0}^{\pi/2} (\cos\theta+2\sin\theta)\,d\theta.

Passo 8

Calcular a integral em \theta. Uma primitiva de \cos\theta+2\sin\theta é
\sin\theta - 2\cos\theta,
pois \frac{d}{d\theta}(\sin\theta)=\cos\theta e \frac{d}{d\theta}(-2\cos\theta)=2\sin\theta. Avaliando de 0 a \pi/2:
\left.\bigl(\sin\theta - 2\cos\theta\bigr)\right|_{0}^{\pi/2} = \bigl(1 - 2\cdot 0\bigr) - \bigl(0 - 2\cdot 1\bigr) = 1 - ( -2) = 3.
Portanto
\int_{0}^{\pi/2} (\cos\theta+2\sin\theta)\,d\theta = 3.

Passo 9

Multiplicar o resultado angular pelo fator obtido em r:
\iint_{R} (x+2y)\,dx\,dy = \frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot 3 = 2\sqrt{2}.
Mandando um incentivo: ótimo — usarmos polares foi a escolha esperta aqui, região circular + integrando linear facilita muito!

Resposta

2\sqrt{2}

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