Calcule:
O volume do sólido
O volume do sólido
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do sólido
Informações dadas:
- A projeção de
no plano (a base) é o disco de raio centrado na origem. - Para cada ponto
do disco, varia entre a superfície inferior e a superfície superior . - A pergunta é: qual é o volume de
?
Passo 2
Ideia do método (explicação didática)
Para sólidos do tipo “base no plano com altura dada pela diferença entre duas superfícies”, usamos a fórmula de volume por integração sobre a base: o volume é a integral dupla sobre a região do comprimento vertical (altura) em cada ponto. Formalmente,
Para sólidos do tipo “base no plano
onde
é o elemento de área no plano
(pensar como um pequeno retângulo de área
ou, em coordenadas polares,
). Vou aplicar essa fórmula ao nosso caso.
Passo 3
Escrever a integral para este problema
Aqui e
. Então a altura em cada
é
Aqui
Portanto o volume é
onde
é o disco
.
Passo 4
Separar a integral e usar linearidade
A integral dupla é linear, então podemos separar:
A integral dupla é linear, então podemos separar:
Vou calcular cada termo. Explico cada passo:
é simplesmente
vezes a área de
. Os termos
e
são integrais de funções lineares sobre um disco centrado na origem; por simetria elas valem
. Vou justificar isso cuidadosamente.
Passo 5
Justificativa de que
e
Raciocínio por simetria (intuitivo e suficiente para prova): o disco é simétrico em relação ao eixo
. Para cada ponto
existe o ponto
. A contribuição de
nesses dois pontos é
. Assim as somas/parcéis se cancelam e a integral total de
sobre
é
. Mesmo raciocínio para
usando simetria em relação ao eixo
.
Raciocínio por simetria (intuitivo e suficiente para prova): o disco
Alternativa usando coordenadas polares (mais formal): em coordenadas polares
,
. Então
Como
, a integral inteira se anula. Mesmo para
com
.
Portanto
Passo 6
Calcular
(área do disco)
A parcela restante é
A parcela restante é
A área de um disco de raio
é
. Logo
Passo 7
Verificação rápida de consistência (opcional, para ficar tranquilo)
É bom checar se a altura é positiva em todo o disco, caso contrário haveria pontos sem volume positivo. O máximo de
no disco ocorre na direção
e vale, por desigualdade de Cauchy-Schwarz, no máximo
(ou visto em polares como
com
). Então
É bom checar se a altura
portanto a altura é positiva em todo
e o sólido é bem definido. Isso só confirma que nosso resultado faz sentido.
Passo 8
Conclusão final do cálculo
Juntando os termos do Passo 4 e usando que os integras de e
são zero, obtemos
Juntando os termos do Passo 4 e usando que os integras de