Calcule:
O volume do sólido S=\left\{(x, y, z) ; x^{2}+y^{2} \leq 1 ; x+y+2 \leq z \leq 4\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido
S=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1,\; x+y+2\leq z\leq 4\}.
Informações dadas:
  • A projeção de S no plano xy (a base) é o disco D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\} de raio 1 centrado na origem.
  • Para cada ponto (x,y) do disco, z varia entre a superfície inferior z_{\text{inf}}(x,y)=x+y+2 e a superfície superior z_{\text{sup}}=4.
  • A pergunta é: qual é o volume de S?

Passo 2

Ideia do método (explicação didática)
Para sólidos do tipo “base no plano xy com altura dada pela diferença entre duas superfícies”, usamos a fórmula de volume por integração sobre a base: o volume é a integral dupla sobre a região do comprimento vertical (altura) em cada ponto. Formalmente,
\text{Volume}(S)=\iint_{D}\big(z_{\text{sup}}(x,y)-z_{\text{inf}}(x,y)\big)\,dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy (pensar como um pequeno retângulo de área dx\,dy ou, em coordenadas polares, r\,dr\,d\theta). Vou aplicar essa fórmula ao nosso caso.

Passo 3

Escrever a integral para este problema
Aqui z_{\text{sup}}(x,y)=4 e z_{\text{inf}}(x,y)=x+y+2. Então a altura em cada (x,y) é
4-(x+y+2)=2-x-y.
Portanto o volume é
\text{Volume}=\iint_{D}(2-x-y)\,dA,
onde D é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\}.

Passo 4

Separar a integral e usar linearidade
A integral dupla é linear, então podemos separar:
\iint_{D}(2-x-y)\,dA=\iint_{D}2\,dA-\iint_{D}x\,dA-\iint_{D}y\,dA.
Vou calcular cada termo. Explico cada passo: \iint_{D}2\,dA é simplesmente 2 vezes a área de D. Os termos \iint_{D}x\,dA e \iint_{D}y\,dA são integrais de funções lineares sobre um disco centrado na origem; por simetria elas valem 0. Vou justificar isso cuidadosamente.

Passo 5

Justificativa de que \iint_{D}x\,dA=0 e \iint_{D}y\,dA=0
Raciocínio por simetria (intuitivo e suficiente para prova): o disco D é simétrico em relação ao eixo y. Para cada ponto (x,y)\in D existe o ponto (-x,y)\in D. A contribuição de x nesses dois pontos é x+(-x)=0. Assim as somas/parcéis se cancelam e a integral total de x sobre D é 0. Mesmo raciocínio para y usando simetria em relação ao eixo x.
Alternativa usando coordenadas polares (mais formal): em coordenadas polares x=r\cos\theta, dA=r\,dr\,d\theta. Então
\iint_{D}x\,dA=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi} (r\cos\theta)\,r\,d\theta\,dr =\int_{0}^{1} r^{2}\left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta\right)dr.
Como \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0, a integral inteira se anula. Mesmo para y=r\sin\theta com \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0.
Portanto
\iint_{D}x\,dA=0,\qquad \iint_{D}y\,dA=0.

Passo 6

Calcular \iint_{D}2\,dA (área do disco)
A parcela restante é
\iint_{D}2\,dA = 2\cdot \text{Area}(D).
A área de um disco de raio 1 é \pi\cdot 1^{2}=\pi. Logo
\iint_{D}2\,dA = 2\pi.

Passo 7

Verificação rápida de consistência (opcional, para ficar tranquilo)
É bom checar se a altura 2-x-y é positiva em todo o disco, caso contrário haveria pontos sem volume positivo. O máximo de x+y no disco ocorre na direção (1,1) e vale, por desigualdade de Cauchy-Schwarz, no máximo \sqrt{2} (ou visto em polares como r\cos(\theta-\pi/4) com r\le 1). Então
2-x-y \ge 2-\max(x+y)\ge 2-\sqrt{2}>0,
portanto a altura é positiva em todo D e o sólido é bem definido. Isso só confirma que nosso resultado faz sentido.

Passo 8

Conclusão final do cálculo
Juntando os termos do Passo 4 e usando que os integras de x e y são zero, obtemos
\text{Volume}=\iint_{D}(2-x-y)\,dA = 2\pi.

Resposta

2\pi

Exercícios relacionados