- Calcule:
, onde
é o sólido limitado pelos planos
e pelo parabolóide
.
- Calcule:
, onde
é o sólido limitado pelo parabolóide
e pelo plano
.
Passo 1
Enunciados e o que é pedido:
-
Problema 2: Calcular
, onde é o sólido limitado pelos planos , , e pelo parabolóide .
Informações dadas: superfícies que limitam: duas superfícies planas verticais e , uma superfície plana horizontal e o parabolóide . O problema pede o valor do integral triplo do campo escalar sobre esse sólido. -
Problema 3: Calcular
, onde é o sólido limitado pelo parabolóide e pelo plano .
Informações dadas: o sólido está entre a superfície paraboloidal que abre para o lado de(com equação ) e o plano vertical . O pedido é o integral triplo do mesmo integrando sobre esse sólido.
Passo 2
Entendimento geométrico do Problema 2 (sem resolver ainda):
- As condições
e restringem ao primeiro quadrante no plano (ou seja, ). - A superfície
é um parabolóide que cresce com a distância ao eixo . O plano é horizontal. Então, para pontos do sólido temos . - Projetando
no plano , obtemos a região onde o parabolóide fica abaixo do plano , isto é , e ainda com . Portanto a projeção é um quarto do disco de raio .
Passo 3
Escolha do método e configuração do integral para o Problema 2:
- Uma forma prática é integrar em ordem
(ou melhor, integrar primeiro em ), porque as superfícies em são claras: de até . Assim
onde
é a projeção no plano
.
- Explico a ideia: integrar em
significa somar (integrar) ao longo da altura entre a base inferior e a base superior , multiplicando por (o integrando). Depois somamos sobre a região no plano .
Passo 4
Troca para coordenadas polares no Problema 2 (motivação e Jacobiano):
- A região
é um quarto de disco. Em problemas com discos é natural usar coordenadas polares: definir , . Aqui é a distância ao polo e é o ângulo medido a partir do eixo . - Em coordenadas polares, o elemento de área é
. Essa fator é o Jacobiano da transformação do par para . Vou usar variando entre e (primeiro quadrante) e entre e (raio do disco). - Reescrever o integrando:
. O integrando após integrar em vai se multiplicar por do Jacobiano.
Passo 5
Montagem do integral em polares para o Problema 2 e integração em
:
- Primeiro integramos em
:
- Em coordenadas polares isso vira
- Multiplicando pelo Jacobiano e integrando sobre
,
- Simplificando o integrando:
Passo 6
Cálculo das integrais para o Problema 2 (separação em
e
):
- A integral separa porque
depende só de e o restante só de . Logo
- Calcule a integral em
:
- Agora a integral radial:
Vou calcular termo a termo:
Portanto
Passo 7
Avaliação explícita da integral radial para o Problema 2 e valor final:
- Calcule
e em :
- Substituindo:
- Calcule a diferença:
- Portanto a integral radial vale
- Como a integral em
deu , concluímos que para o Problema 2
Passo 8
Entendimento geométrico e escolha do método para o Problema 3:
- A superfície
pode ser vista como um parabolóide que abre ao longo do eixo , com seções transversais circulares no plano constante. O plano corta esse parabolóide formando uma região circular na seção . - Para integrar sobre
é conveniente projetar em coordenadas polares no plano formado por : definir e um ângulo tal que e (a ordem de apenas escolhe a referência angular). Em termos dessa , a superfície paraboloide é . O plano corresponde a , isto é . Assim varia de a e de a . - Dessa forma integramos
primeiro entre as superfícies e , e depois sobre a região circular em .
Passo 9
Montagem do integral em coordenadas cilíndricas adaptadas ao Problema 3:
- Usando as coordenadas
com , , o elemento de volume é . - Portanto
- Explico: para cada
fixos (ou seja, cada direção no plano e distância ), varia da superfície paraboloide até o plano ; somamos ao longo disso e depois integramos sobre todas as direções angulares.
Passo 10
Cálculo da integral interna em
para o Problema 3 e simplificação:
- A integral em
é simples:
- Calcule os quadrados:
e . Então
- Substituindo no integral total:
Passo 11
Cálculo da integral radial e angular para o Problema 3:
- Primeiro o integral radial:
- Calcule termo a termo:
- Avaliando de
a :
- Agora multiplicamos pela integral em
:
- Portanto o integral total é