1. Calcule: \iint_{W} x d x d y d z, onde W é o sólido limitado pelos planos x=0, y=0, z=2 e pelo parabolóide z=x^{2}+y^{2}.
  2. Calcule: \iint_{W} x d x d y d z, onde W é o sólido limitado pelo parabolóide x=4 z^{2}+4 y^{2} e pelo plano x=4.

Passo 1

Enunciados e o que é pedido:
  • Problema 2: Calcular \iint_{W} x\,dx\,dy\,dz, onde W é o sólido limitado pelos planos x=0, y=0, z=2 e pelo parabolóide z=x^{2}+y^{2}.
    Informações dadas: superfícies que limitam W: duas superfícies planas verticais x=0 e y=0, uma superfície plana horizontal z=2 e o parabolóide z=x^{2}+y^{2}. O problema pede o valor do integral triplo do campo escalar f(x,y,z)=x sobre esse sólido.
  • Problema 3: Calcular \iint_{W} x\,dx\,dy\,dz, onde W é o sólido limitado pelo parabolóide x=4 z^{2}+4 y^{2} e pelo plano x=4.
    Informações dadas: o sólido está entre a superfície paraboloidal que abre para o lado de x (com equação x=4(y^{2}+z^{2})) e o plano vertical x=4. O pedido é o integral triplo do mesmo integrando f(x,y,z)=x sobre esse sólido.

Passo 2

Entendimento geométrico do Problema 2 (sem resolver ainda):
  • As condições x=0 e y=0 restringem W ao primeiro quadrante no plano xy (ou seja, x\ge 0,\;y\ge 0).
  • A superfície z=x^{2}+y^{2} é um parabolóide que cresce com a distância ao eixo z. O plano z=2 é horizontal. Então, para pontos do sólido temos x^{2}+y^{2}\le z\le 2.
  • Projetando W no plano xy, obtemos a região onde o parabolóide fica abaixo do plano z=2, isto é x^{2}+y^{2}\le 2, e ainda com x\ge 0,\;y\ge 0. Portanto a projeção é um quarto do disco de raio \sqrt{2}.

Passo 3

Escolha do método e configuração do integral para o Problema 2:
  • Uma forma prática é integrar em ordem dz\,dy\,dx (ou melhor, integrar primeiro em z), porque as superfícies em z são claras: de z=x^{2}+y^{2} até z=2. Assim
\iint_{W} x\,dV = \iint_{D} \left( \int_{z=x^{2}+y^{2}}^{z=2} x\,dz \right) dA_{xy},
onde D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x^{2}+y^{2}\le 2\} é a projeção no plano xy.
  • Explico a ideia: integrar em z significa somar (integrar) ao longo da altura entre a base inferior z=x^{2}+y^{2} e a base superior z=2, multiplicando por x (o integrando). Depois somamos sobre a região D no plano xy.

Passo 4

Troca para coordenadas polares no Problema 2 (motivação e Jacobiano):
  • A região D é um quarto de disco. Em problemas com discos é natural usar coordenadas polares: definir x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Aqui r\ge 0 é a distância ao polo e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • Em coordenadas polares, o elemento de área é dA_{xy}=r\,dr\,d\theta. Essa fator r é o Jacobiano da transformação do par (r,\theta) para (x,y). Vou usar \theta variando entre 0 e \tfrac{\pi}{2} (primeiro quadrante) e r entre 0 e \sqrt{2} (raio do disco).
  • Reescrever o integrando: x = r\cos\theta. O integrando após integrar em z vai se multiplicar por r do Jacobiano.

Passo 5

Montagem do integral em polares para o Problema 2 e integração em z:
  • Primeiro integramos em z:
\int_{z=x^{2}+y^{2}}^{2} x\,dz = x\bigl(2 - (x^{2}+y^{2})\bigr).
  • Em coordenadas polares isso vira
x\bigl(2-(x^{2}+y^{2})\bigr) = r\cos\theta\bigl(2 - r^{2}\bigr).
  • Multiplicando pelo Jacobiano e integrando sobre r,\theta,
\iint_{W} x\,dV = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{\sqrt{2}} \bigl[r\cos\theta(2-r^{2})\bigr]\; r\,dr\,d\theta.
  • Simplificando o integrando:
r\cos\theta(2-r^{2})\cdot r = r^{2}\cos\theta(2-r^{2}).

Passo 6

Cálculo das integrais para o Problema 2 (separação em \theta e r):
  • A integral separa porque \cos\theta depende só de \theta e o restante só de r. Logo
\iint_{W} x\,dV = \left(\int_{0}^{\pi/2} \cos\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{2}(2-r^{2})\,dr\right).
  • Calcule a integral em \theta:
\int_{0}^{\pi/2} \cos\theta\,d\theta = \bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{\pi/2} = 1-0 = 1.
  • Agora a integral radial:
\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{2}(2-r^{2})\,dr = \int_{0}^{\sqrt{2}} (2r^{2}-r^{4})\,dr.
Vou calcular termo a termo:
\int 2r^{2}\,dr = \tfrac{2}{3}r^{3},\qquad \int r^{4}\,dr = \tfrac{1}{5}r^{5}.
Portanto
\int_{0}^{\sqrt{2}} (2r^{2}-r^{4})\,dr = \left[\tfrac{2}{3}r^{3}-\tfrac{1}{5}r^{5}\right]_{0}^{\sqrt{2}}.

Passo 7

Avaliação explícita da integral radial para o Problema 2 e valor final:
  • Calcule r^{3} e r^{5} em r=\sqrt{2}:
(\sqrt{2})^{3} = 2\sqrt{2},\qquad (\sqrt{2})^{5} = 4\sqrt{2}.
  • Substituindo:
\left(\tfrac{2}{3}\cdot 2\sqrt{2}\right) - \left(\tfrac{1}{5}\cdot 4\sqrt{2}\right) = \tfrac{4\sqrt{2}}{3} - \tfrac{4\sqrt{2}}{5} = 4\sqrt{2}\left(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5}\right).
  • Calcule a diferença:
\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5}=\tfrac{5-3}{15}=\tfrac{2}{15}.
  • Portanto a integral radial vale
4\sqrt{2}\cdot \tfrac{2}{15} = \tfrac{8\sqrt{2}}{15}.
  • Como a integral em \theta deu 1, concluímos que para o Problema 2
\iint_{W} x\,dV = \tfrac{8\sqrt{2}}{15}.

Passo 8

Entendimento geométrico e escolha do método para o Problema 3:
  • A superfície x=4(z^{2}+y^{2}) pode ser vista como um parabolóide que abre ao longo do eixo x, com seções transversais circulares no plano x= constante. O plano x=4 corta esse parabolóide formando uma região circular na seção x=4.
  • Para integrar sobre W é conveniente projetar em coordenadas polares no plano formado por (y,z): definir r=\sqrt{y^{2}+z^{2}} e um ângulo \theta tal que y=r\cos\theta e z=r\sin\theta (a ordem de y,z apenas escolhe a referência angular). Em termos dessa r, a superfície paraboloide é x=4r^{2}. O plano x=4 corresponde a r^{2}=1, isto é r\le 1. Assim r varia de 0 a 1 e \theta de 0 a 2\pi.
  • Dessa forma integramos x primeiro entre as superfícies x=4r^{2} e x=4, e depois sobre a região circular em (y,z).

Passo 9

Montagem do integral em coordenadas cilíndricas adaptadas ao Problema 3:
  • Usando as coordenadas (x,r,\theta) com y=r\cos\theta, z=r\sin\theta, o elemento de volume é dV = dx\,(r\,dr\,d\theta).
  • Portanto
\iint_{W} x\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\left(\int_{x=4r^{2}}^{4} x\,dx\right) r\,dr\,d\theta.
  • Explico: para cada (r,\theta) fixos (ou seja, cada direção no plano y,z e distância r), x varia da superfície paraboloide até o plano x=4; somamos x ao longo disso e depois integramos sobre todas as direções angulares.

Passo 10

Cálculo da integral interna em x para o Problema 3 e simplificação:
  • A integral em x é simples:
\int_{x=4r^{2}}^{4} x\,dx = \left[\tfrac{1}{2}x^{2}\right]_{4r^{2}}^{4} = \tfrac{1}{2}\bigl(4^{2}-(4r^{2})^{2}\bigr).
  • Calcule os quadrados: 4^{2}=16 e (4r^{2})^{2}=16r^{4}. Então
\int_{4r^{2}}^{4} x\,dx = \tfrac{1}{2}\bigl(16-16r^{4}\bigr) = 8(1-r^{4}).
  • Substituindo no integral total:
\iint_{W} x\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} 8(1-r^{4})\, r\,dr\,d\theta.

Passo 11

Cálculo da integral radial e angular para o Problema 3:
  • Primeiro o integral radial:
\int_{0}^{1} 8(1-r^{4})\, r\,dr = 8\int_{0}^{1} (r - r^{5})\,dr.
  • Calcule termo a termo:
\int r\,dr = \tfrac{1}{2}r^{2},\qquad \int r^{5}\,dr = \tfrac{1}{6}r^{6}.
  • Avaliando de 0 a 1:
8\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{6}\right) = 8\left(\tfrac{3-1}{6}\right) = 8\cdot \tfrac{2}{6} = 8\cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{8}{3}.
  • Agora multiplicamos pela integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
  • Portanto o integral total é
\iint_{W} x\,dV = \tfrac{8}{3}\cdot 2\pi = \tfrac{16\pi}{3}.

Resposta

\dfrac{8\sqrt{2}}{15}
\dfrac{16\pi}{3}

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