1. \iiint_{W} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y d z, onde W é a região contida dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=16 e entre os planos z=-5 e z=4.
  2. \iiint_{W}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y d z, onde W é o cone \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 1.

Passo 1

Enunciados e dados fornecidos (resumo claro do que se pede):
  1. Calcular \iiint_{W} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy\,dz, onde W é a região contida dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=16 e entre os planos z=-5 e z=4.
Informações relevantes: a região é um cilindro de raio 4 (pois x^{2}+y^{2}=16 dá raio 4) e altura entre z=-5 e z=4 (comprimento total 9). A função a integrar é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  1. Calcular \iiint_{W}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy\,dz, onde W é o cone \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 1.
Informações relevantes: a região é o conjunto de pontos entre o cone com equação z=r (onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}) e o plano z=1. Observe que, por r\ge 0 e r\le z, temos z\ge 0; portanto z varia de 0 até 1.

Passo 2

Motivação do método e lembranças rápidas de coordenadas cilíndricas (aula prática):
  • Em problemas com simetria circular (cilindro, cone, integrais que envolvem \sqrt{x^{2}+y^{2}} ou x^{2}+y^{2}), é muito mais prático usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), onde:
    x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z.
    Aqui r\ge 0 é a distância da origem ao ponto projetado no plano xy, \theta é o ângulo polar, e z continua sendo a coordenada vertical.
  • O elemento de volume em coordenadas cilíndricas não é dx\,dy\,dz direto: há o fator jacobiano r. Ou seja,
    dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz.
    Intuição rápida: ao substituir, pequenos arcos circulares têm comprimento proporcional a r\,d\theta, daí surge esse r.
  • Substituições úteis:
    \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r,\qquad x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Vou aplicar estas ideias aos dois itens. Se em algum passo você ficar com dúvida, respira fundo — vou explicar cada integral explicitamente.

Passo 3

Resolução do item 6 — montar a integral em coordenadas cilíndricas:
  • A região W é o cilindro de raio 4 e de z=-5 até z=4. Portanto os limites são:
    0\le r\le 4,\qquad 0\le \theta\le 2\pi,\qquad -5\le z\le 4.
  • A integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}} vira r. O elemento de volume vira r\,dr\,d\theta\,dz. Logo o integrando total em r,\theta,z é r\cdot r = r^{2}.
  • A integral tripla fica:
    \iiint_{W} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy\,dz = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{4}\int_{z=-5}^{4} r^{2}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcular a integral do item 6 passo a passo (integração iterada):
  • Primeiro integramos em z (é simples porque o integrando não depende de z):
    \int_{z=-5}^{4} r^{2}\,dz = r^{2}\Big|_{z=-5}^{4} = r^{2}(4-(-5)) = 9r^{2}.
  • Agora a integral sobra em r,\theta:
    \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4} 9r^{2}\,dr\,d\theta.
  • Integramos em r:
    \int_{0}^{4} 9r^{2}\,dr = 9\cdot\frac{r^{3}}{3}\Big|_{0}^{4} = 9\cdot\frac{4^{3}}{3} = 9\cdot\frac{64}{3} = 192.
    Explicando: \int r^{2}dr = r^{3}/3; multiplicando por 9 9r^{3}/3=3r^{3}, e 3\cdot 64=192.
  • Finalmente integramos em \theta:
    \int_{0}^{2\pi} 192\,d\theta = 192\cdot 2\pi = 384\pi.
  • Portanto o valor do item 6 é 384\pi.

Passo 5

Resolução do item 7 — interpretar a região e montar a integral:
  • A condição do enunciado é \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 1. Em coordenadas cilíndricas isso é r \le z \le 1.
  • Como r\ge 0, a desigualdade r\le z implica z\ge 0. Então z varia de 0 até 1. Para cada valor fixo de z (entre 0 e 1), r varia de 0 até z (porque r\le z). O ângulo \theta completa a volta: 0\le \theta\le 2\pi.
  • A função a integrar é x^{2}+y^{2}=r^{2}. O elemento de volume é r\,dr\,d\theta\,dz. Portanto o integrando total é r^{2}\cdot r = r^{3}.
  • A integral tripla fica:
    \iiint_{W}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy\,dz = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=0}^{1}\int_{r=0}^{z} r^{3}\,dr\,dz\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral do item 7 passo a passo:
  • Integramos primeiro em r:
    \int_{r=0}^{z} r^{3}\,dr = \frac{r^{4}}{4}\Big|_{0}^{z} = \frac{z^{4}}{4}.
  • A integral reduz a:
    \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \frac{z^{4}}{4}\,dz\,d\theta.
  • Integramos em z:
    \int_{0}^{1} \frac{z^{4}}{4}\,dz = \frac{1}{4}\cdot\frac{z^{5}}{5}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{5} = \frac{1}{20}.
  • Finalmente integramos em \theta:
    \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{20}\,d\theta = \frac{1}{20}\cdot 2\pi = \frac{\pi}{10}.
  • Portanto o valor do item 7 é \frac{\pi}{10}.

Resposta

  1. \,384\pi
  2. \,\dfrac{\pi}{10}

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