-
, onde
é a região contida dentro do cilindro
e entre os planos
e
.
-
, onde
é o cone
.
Passo 1
Enunciados e dados fornecidos (resumo claro do que se pede):
- Calcular
, onde é a região contida dentro do cilindro e entre os planos e .
Informações relevantes: a região é um cilindro de raio
(pois
dá raio
) e altura entre
e
(comprimento total
). A função a integrar é
.
- Calcular
, onde é o cone .
Informações relevantes: a região é o conjunto de pontos entre o cone com equação
(onde
) e o plano
. Observe que, por
e
, temos
; portanto
varia de
até
.
Passo 2
Motivação do método e lembranças rápidas de coordenadas cilíndricas (aula prática):
-
Em problemas com simetria circular (cilindro, cone, integrais que envolvem
ou ), é muito mais prático usar coordenadas cilíndricas , onde: Aquié a distância da origem ao ponto projetado no plano , é o ângulo polar, e continua sendo a coordenada vertical. -
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas não é
direto: há o fator jacobiano . Ou seja, Intuição rápida: ao substituir, pequenos arcos circulares têm comprimento proporcional a, daí surge esse . -
Substituições úteis:
Vou aplicar estas ideias aos dois itens. Se em algum passo você ficar com dúvida, respira fundo — vou explicar cada integral explicitamente.
Passo 3
Resolução do item 6 — montar a integral em coordenadas cilíndricas:
-
A região
é o cilindro de raio e de até . Portanto os limites são: -
A integranda
vira . O elemento de volume vira . Logo o integrando total em é . -
A integral tripla fica:
Passo 4
Calcular a integral do item 6 passo a passo (integração iterada):
-
Primeiro integramos em
(é simples porque o integrando não depende de ): -
Agora a integral sobra em
: -
Integramos em
:Explicando: ; multiplicando por dá , e . -
Finalmente integramos em
: -
Portanto o valor do item 6 é
.
Passo 5
Resolução do item 7 — interpretar a região e montar a integral:
-
A condição do enunciado é
. Em coordenadas cilíndricas isso é . -
Como
, a desigualdade implica . Então varia de até . Para cada valor fixo de (entre e ), varia de até (porque ). O ângulo completa a volta: . -
A função a integrar é
. O elemento de volume é . Portanto o integrando total é . -
A integral tripla fica:
Passo 6
Calcular a integral do item 7 passo a passo:
-
Integramos primeiro em
: -
A integral reduz a:
-
Integramos em
: -
Finalmente integramos em
: -
Portanto o valor do item 7 é
.