Utilizando a mudança de variáveis: x=u+v e y=u-v, calcule:
\int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{1}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x\right] d y
Utilizando a mudança de variáveis: x+y=u e x-y=v, calcule:
\iint_{D}(x+y)^{2}(x-y)^{2} d x d y
onde D é limitado pelo quadrado de vértices (1,0),(2,1) e (0,1).
3. Utilizando a mudança de variáveis: u=x-y e v=x+y, calcule:
\iint_{D}\left(x^{2}-y^{2}\right) \operatorname{sen}^{2}(x+y) d x d y
onde D=\{(x, y) /-\pi \leq x+y \leq \pi,-\pi \leq x-y \leq \pi\}.
4. Utilizando coordenadas polares, calcule as seguintes integrais duplas:
(a) \iint_{D} e^{x^{2}+y^{2}} d x d y, sendo D=\left\{(x, y) / x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}
(b) \iint_{D} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y, sendo D=\left\{(x, y) / x \geq 0, y \geq 0, a^{2} \leq x^{2}+y^{2} \leq b^{2}\right\}
(c) \iint_{D} \frac{\operatorname{sen}\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d x d y, sendo D limitadas por x^{2}+y^{2}=\frac{\pi^{2}}{4} \mathrm{e} x^{2}+y^{2}=\pi^{2}
5. Calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas: x=4-y^{2} e x+2 y-4=0.
6. Calcule \iint_{D} \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y, sendo D o disco unitário centrado na origem.
7. Sendo dadas a parábola y^{2}=x+1 e a reta x+y=1, calcule o momento de inércia em relação a cada eixo e o momento de inércia polar.
Passo 1
Vou listar, para cada item, o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
Dados: mudança de variáveis x=u+v, y=u-v. Integral pedida:
Dados: mudança de variáveis x+y=u, x-y=v. Região D é o quadrado com vértices (1,0),(2,1),(1,2),(0,1) (infiro o quarto vértice (1,2) porque um quadrado tem quatro vértices). Integral pedida:
Usar coordenadas polares para três integrais:
(a) D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}. Calcular \iint_{D} e^{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy.
(b) D=\{(x,y)\mid x\ge0,\; y\ge0,\; a^{2}\le x^{2}+y^{2}\le b^{2}\}. Calcular \iint_{D} \ln(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy.
(c) D é o anel limitado por x^{2}+y^{2}=\pi^{2}/4 e x^{2}+y^{2}=\pi^{2}. Calcular \iint_{D} \dfrac{\sin(\sqrt{x^{2}+y^{2}})}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dx\,dy.
Curvas: x=4-y^{2} e x+2y-4=0. Pedir a área da região limitada por elas.
Região: disco unitário centrado na origem. Calcular
\iint_{D}\sin(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy.
Região limitada pela parábola y^{2}=x+1 e pela reta x+y=1. Pedir os momentos de inércia em relação a cada eixo (eixo x e eixo y) e o momento de inércia polar (em relação à origem). Assumo densidade superficial uniforme igual a 1.
Passo 2
Resolução do item 1 (uso da mudança de variáveis x=u+v,\; y=u-v) — explicando passo a passo.
Primeiro, escrevo a transformação inversa para poder trabalhar com u,v:
u=\frac{x+y}{2},\qquad v=\frac{x-y}{2}.
Isso é só resolver o sistema linear. Agora calculo o Jacobiano. Se x=x(u,v)=u+v e y=y(u,v)=u-v, a matriz jacobiana é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\[4pt] \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 \end{pmatrix}.
O determinante é \det= (1)(-1)-(1)(1)=-2. O valor absoluto do Jacobiano é |\det|=2. Isso significa que dx\,dy = 2\,du\,dv.
Agora transformo o integrando:
x^{2}+y^{2}=(u+v)^{2}+(u-v)^{2}=2(u^{2}+v^{2}).
Multiplicando pelo Jacobiano, o integrando em u,v fica 2(u^{2}+v^{2})\cdot 2 = 4(u^{2}+v^{2}).
Falta descrever bem a região em coordenadas u,v. A região original é o quadrado [0,1]\times[0,1], ou seja
0\le x\le1,\qquad 0\le y\le 1.
Em termos de u,v, essas desigualdades são
0\le u+v\le 1,\qquad 0\le u-v\le 1.
Daqui obtemos as restrições para v:
-u \le v \le 1-u \quad\text{e}\quad u-1\le v \le u.
A interseção dessas duas faixas depende de u. Para decidir os limites, compare -u com u-1 e u com 1-u. O ponto onde as expressões trocam é u=\tfrac12. Portanto a região em (u,v) é um paralelogramo que se descreve por duas faixas:
Para 0\le u\le \tfrac12: -u \le v \le u.
Para \tfrac12\le u\le 1: u-1 \le v \le 1-u.
Isso é geométrico: os vértices em (u,v) são (0,0),(\tfrac12,\tfrac12),(1,0),(\tfrac12,-\tfrac12).]
Passo 3
Continuando o item 1 — cálculo das integrais em u,v, pedaço a pedaço (método prático para prova).
Calculo a primeira parte. Para 0\le u\le\tfrac12, \begin{align*}
\int_{-u}^{u}(u^{2}+v^{2})\,dv
&=u^{2}\cdot(2u)+\left[\frac{v^{3}}{3}\right]_{-u}^{u}
=2u^{3}+\frac{u^{3}-(-u^{3})}{3}
=2u^{3}+\frac{2u^{3}}{3}=\frac{8}{3}u^{3}.
\end{align*}
Multiplicando por 4 e integrando em u:
Observação prática: usar a mudança de variáveis foi uma boa checagem — aqui a simetria e a separabilidade do integrando também permitem computar diretamente, mas saber calcular o Jacobiano e dividir a região em duas fatias foi a técnica chave.
Passo 5
Resolução do item 2 (transformação u=x+y,\; v=x-y) — explicação.
Primeiro a inversa: x=(u+v)/2,\; y=(u-v)/2. O Jacobiano é
com determinante \det=-\tfrac12. Então |\det|=\tfrac12 e dx\,dy=\tfrac12\,du\,dv.
O integrando simplifica muito:
(x+y)^{2}(x-y)^{2}=u^{2}v^{2}.
Agora descrevo a região D. Usando os quatro vértices (1,0),(2,1),(1,2),(0,1) (o quarto (1,2) foi inferido para completar o quadrado), calcule u,v em cada vértice:
Resolução do item 3 (transformação u=x-y,\; v=x+y) — ideia e simetria.
Transformação inversa: x=(u+v)/2,\; y=(v-u)/2. O Jacobiano \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} tem determinante +\tfrac12, então dx\,dy=\tfrac12\,du\,dv.
Observe que x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)=uv e \sin^{2}(x+y)=\sin^{2}v. Assim o integrando fica
(x^{2}-y^{2})\sin^{2}(x+y)=uv\sin^{2}v.
Multiplicando pelo Jacobiano vira \tfrac12\,uv\sin^{2}v.
A região dada em x,y é simplesmente o retângulo em u,v:
Resolução do item 4(b) — troca para coordenadas polares e integração por partes.
Região: primeiro quadrante entre raios a e b: 0\le\theta\le \tfrac{\pi}{2}, a\le r\le b. Em polares, \ln(x^{2}+y^{2})=\ln(r^{2})=2\ln r e dx\,dy=r\,dr\,d\theta. Logo integrando:
Resolução do item 4(c) — simplificação com polares.
Região: anel entre r=\pi/2 e r=\pi, todo o círculo — logo 0\le\theta\le 2\pi, \pi/2\le r\le \pi. Em polares, \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r e dx\,dy=r\,dr\,d\theta. O integrando torna-se
Para cada y no intervalo [-2,1], x varia entre a parábola (esquerda) x_{\text{par}}=y^{2}-1 e a reta (direita) x_{\text{reta}}=1-y. Verifique com y=0: x_{\text{par}}=-1,\; x_{\text{reta}}=1, o que confirma a ordem.
Definições (densidade unitária):
Momento de inércia em relação ao eixo x:
I_{x}=\iint_{D} y^{2}\,dA.
Momento de inércia em relação ao eixo y:
I_{y}=\iint_{D} x^{2}\,dA.
Momento polar em relação à origem:
I_{O}=\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dA = I_{x}+I_{y}.
Vou configurar as integrais usando integração na ordem dx\,dy: