- Calcule:
, onde
é o tetraedro de vértices
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é o tetraedro de vértices
,
,
e
.
Informações dadas e perguntas:
- Dados os vértices do tetraedro, precisamos determinar a equação do plano que contém os três pontos
, e . - A região
é o conjunto de pontos com coordenadas não negativas limitados por esse plano (é um tetraedro com vértices em interceptos dos eixos). - A tarefa é montar o integral iterado correspondente e calcular o valor numérico da integral de
sobre .
Passo 2
Encontre a equação do plano que passa por
,
e
.
A forma intercepto do plano com interceptos
,
,
nos eixos é
Aqui os interceptos são
,
,
. Logo o plano é
ou, equivalente,
Isolando
para usar como limite superior, obtemos
Explicação breve do que fizemos: a forma intercepto é uma maneira prática de escrever o plano quando sabemos onde ele cruza os eixos coordenados.
Passo 3
Determine a projeção de
no plano
(isso define os limites para
e
).
Como
no tetraedro e
é dado por
, para a projeção no plano
devemos ter
Além disso
e
. Portanto a projeção é o triângulo do plano
definido por
Em particular
varia de
a
(porque no vértice
a desigualdade se anula).
Resumo dos limites do domínio projetado:
-
. - Para cada
, . - Para cada
na projeção, .
Passo 4
Monte o integral iterado usando a ordem
.
Usando os limites encontrados, a integral torna-se
Aqui expliquei cada variável:
-
, , são as coordenadas do ponto no espaço. - A função a integrar é
. - O diferencial
indica que primeiro integramos em , depois em e por fim em .
Passo 5
Execute a integração em
(a integral mais interna).
Como
e
são constantes em relação a
, temos
Portanto o integral se reduz a
Passo 6
Simplifique a expressão interna e prepare para integrar em
.
Expanda o integrando:
Agora integraremos em
de
a
. Use as primitivas:
Assim, para cada
,
Passo 7
Avalie a expressão em
e simplifique.
Calcule
e
. Substituindo,
Compute passo a passo:
Subtraindo,
Multiplicando pelo fator
anterior, obtemos para a integral em
Portanto a integral tripla reduz-se a uma integral simples em
:
Passo 8
Calcule a integral em
(use substituição para ficar limpo).
Fazer a substituição
, então
e quando
temos
, quando
temos
. Também
. Assim
Expanda e integre:
Calcule a diferença:
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