1. Calcule: \iint_{W} x y d x d y d z, onde W é o tetraedro de vértices (0,0,0),(1,0,0),(0,2,0) e (0,0,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iint_{W} x y \, dx\,dy\,dz
onde W é o tetraedro de vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,3).
Informações dadas e perguntas:
  • Dados os vértices do tetraedro, precisamos determinar a equação do plano que contém os três pontos (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,3).
  • A região W é o conjunto de pontos (x,y,z) com coordenadas não negativas limitados por esse plano (é um tetraedro com vértices em interceptos dos eixos).
  • A tarefa é montar o integral iterado correspondente e calcular o valor numérico da integral de f(x,y,z)=xy sobre W.

Passo 2

Encontre a equação do plano que passa por (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,3).
A forma intercepto do plano com interceptos a, b, c nos eixos é
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.
Aqui os interceptos são a=1, b=2, c=3. Logo o plano é
\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1,
ou, equivalente,
x+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1.
Isolando z para usar como limite superior, obtemos
z = 3\Bigl(1-x-\frac{y}{2}\Bigr)=3-3x-\frac{3}{2}y.
Explicação breve do que fizemos: a forma intercepto é uma maneira prática de escrever o plano quando sabemos onde ele cruza os eixos coordenados.

Passo 3

Determine a projeção de W no plano xy (isso define os limites para x e y).
Como z\ge0 no tetraedro e z é dado por z=3(1-x-y/2), para a projeção no plano xy devemos ter
3\Bigl(1-x-\frac{y}{2}\Bigr)\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1-x-\frac{y}{2}\ge0.
Além disso x\ge0 e y\ge0. Portanto a projeção é o triângulo do plano xy definido por
x\ge0,\qquad y\ge0,\qquad y\le 2(1-x).
Em particular x varia de 0 a 1 (porque no vértice (1,0) a desigualdade se anula).
Resumo dos limites do domínio projetado:
  • \;0\le x\le1.
  • Para cada x, \;0\le y\le 2(1-x).
  • Para cada (x,y) na projeção, \;0\le z\le 3\bigl(1-x-\tfrac{y}{2}\bigr).

Passo 4

Monte o integral iterado usando a ordem dz\,dy\,dx.
Usando os limites encontrados, a integral torna-se
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2(1-x)}\int_{z=0}^{3\left(1-x-\frac{y}{2}\right)} x y \; dz\,dy\,dx.
Aqui expliquei cada variável:
  • x, y, z são as coordenadas do ponto no espaço.
  • A função a integrar é f(x,y,z)=xy.
  • O diferencial dz\,dy\,dx indica que primeiro integramos em z, depois em y e por fim em x.

Passo 5

Execute a integração em z (a integral mais interna).
Como x e y são constantes em relação a z, temos
\int_{0}^{3\left(1-x-\frac{y}{2}\right)} x y \; dz = x y \left[z\right]_{0}^{3\left(1-x-\frac{y}{2}\right)} = x y \cdot 3\Bigl(1-x-\frac{y}{2}\Bigr).
Portanto o integral se reduz a
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2(1-x)} 3x y\Bigl(1-x-\frac{y}{2}\Bigr)\; dy\,dx.

Passo 6

Simplifique a expressão interna e prepare para integrar em y.
Expanda o integrando:
3x y\Bigl(1-x-\frac{y}{2}\Bigr) = 3x\Bigl( y(1-x) - \frac{y^{2}}{2}\Bigr).
Agora integraremos em y de 0 a 2(1-x). Use as primitivas:
\int y(1-x)\,dy = (1-x)\frac{y^{2}}{2}, \qquad \int \frac{y^{2}}{2}\,dy = \frac{y^{3}}{6}.
Assim, para cada x,
\int_{0}^{2(1-x)} 3x\Bigl( y(1-x) - \frac{y^{2}}{2}\Bigr)\,dy =3x\left[(1-x)\frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{3}}{6}\right]_{0}^{2(1-x)}.

Passo 7

Avalie a expressão em y=2(1-x) e simplifique.
Calcule y=2(1-x)\Rightarrow y^{2}=4(1-x)^{2} e y^{3}=8(1-x)^{3}. Substituindo,
(1-x)\frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{3}}{6} = (1-x)\frac{4(1-x)^{2}}{2} - \frac{8(1-x)^{3}}{6}.
Compute passo a passo:
(1-x)\frac{4(1-x)^{2}}{2} = 2(1-x)^{3}, \qquad \frac{8(1-x)^{3}}{6}=\frac{4}{3}(1-x)^{3}.
Subtraindo,
2(1-x)^{3}-\frac{4}{3}(1-x)^{3}=\frac{2}{3}(1-x)^{3}.
Multiplicando pelo fator 3x anterior, obtemos para a integral em y
3x\cdot \frac{2}{3}(1-x)^{3} = 2x(1-x)^{3}.
Portanto a integral tripla reduz-se a uma integral simples em x:
\int_{0}^{1} 2x(1-x)^{3}\;dx.

Passo 8

Calcule a integral em x (use substituição para ficar limpo).
Fazer a substituição \;u=1-x, então \;du=-dx e quando x=0 temos u=1, quando x=1 temos u=0. Também x=1-u. Assim
\int_{0}^{1} 2x(1-x)^{3}\,dx = 2\int_{0}^{1} x(1-x)^{3}\,dx =2\int_{u=1}^{0} (1-u)u^{3}(-du) =2\int_{0}^{1} (1-u)u^{3}\,du.
Expanda e integre:
2\int_{0}^{1} (u^{3}-u^{4})\,du = 2\left[\frac{u^{4}}{4}-\frac{u^{5}}{5}\right]_{0}^{1} =2\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right).
Calcule a diferença:
\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{5-4}{20}=\frac{1}{20},
logo
2\cdot\frac{1}{20}=\frac{1}{10}.

Resposta

\dfrac{1}{10}

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