Usando o Teorema do Confronto, calcule
lim n infty raiz[n]3^n+5^n

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limntoinftyraiz[n]3^n+5^n
usando o Teorema do Confronto. Vamos explorar que, à medida que n cresce, o termo 5^n domina 3^n, e então encaixar raiz[n]3^n+5^n entre duas sequências cujos limites são fáceis de calcular.

Passo 2

Para todo n>=1 temos
5^n <= 3^n + 5^n <= 5^n + 5^n = 2cdot5^n
Aplicando a raiz enésima em cada parte dessa desigualdade,
raiz[n]5^n ;<=;raiz[n]3^n+5^n;<=;raiz[n]2cdot5^n
Mas raiz[n]5^n=5 e
raiz[n]2cdot5^n =raiz[n]2,raiz[n]5^n =raiz[n]2;5

Passo 3

Sabendo que
limntoinftyraiz[n]2=1,
as duas “bordas” da desigualdade tendem a
5e5cdot1=5
Portanto, pelo Teorema do Confronto, a sequência do meio também tende a 5.

Resposta

5

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