Calcule:
\iint_{D}(x+y) d A, \quad D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2\}

Passo 1

O enunciado nos pede o cálculo de
\iint_{D}(x+y)\,dA,
onde D é o retângulo dado por 0\le x\le1, 0\le y\le2. Vamos usar o Teorema de Fubini para transformar essa integral dupla em uma iterada.

Passo 2

Pela linearidade da integral e por Fubini, escrevemos
\iint_{D}(x+y)\,dA = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2}(x+y)\,dy\,dx.
Calculamos primeiro a integral interna em y.

Passo 3

\int_{y=0}^{2}(x+y)\,dy = \int_{0}^{2}x\,dy + \int_{0}^{2}y\,dy = x\cdot2 + \bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\bigr]_{0}^{2} =2x + \tfrac{4}{2} =2x+2.

Passo 4

Agora integramos o resultado em x:
\int_{x=0}^{1}(2x+2)\,dx = \int_{0}^{1}2x\,dx + \int_{0}^{1}2\,dx = \bigl[x^{2}\bigr]_{0}^{1} + \bigl[2x\bigr]_{0}^{1} =1 + 2 =3.

Resposta

3

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