Calcule:
\int_{0}^{2} \int_{0}^{x}(5 x-2 y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a dupla integral
\int_{0}^{2}\int_{0}^{x}(5x - 2y)\,dy\,dx.
O conteúdo aqui é aplicação direta do Teorema de Fubini integrando primeiro em y (pois x é parâmetro na integral interna) e depois em x.

Passo 2

Vamos calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{x}(5x - 2y)\,dy.
Aqui 5x é constante em relação a y, então
\int_{0}^{x}(5x - 2y)\,dy = 5x\int_{0}^{x}dy \;-\;2\int_{0}^{x}y\,dy = 5x\bigl[y\bigr]_{0}^{x}\;-\;2\bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\bigr]_{0}^{x} = 5x\cdot x - 2\cdot\tfrac{x^{2}}{2} = 5x^{2}-x^{2} =4x^{2}.

Passo 3

Substituindo na integral externa, temos
\int_{0}^{2}4x^{2}\,dx =4\int_{0}^{2}x^{2}\,dx =4\bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\bigr]_{0}^{2} =4\cdot\tfrac{2^{3}}{3} =4\cdot\tfrac{8}{3} =\tfrac{32}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{32}{3}

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