Calcule:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x}(3 y+2 x) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\bigl(3y+2x\bigr)\,dy\,dx.
O conteúdo envolvido é integração dupla em coordenadas cartesianas, mas como a região de integração é triangular e o integrando é polinomial, basta integrar primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Calculamos a integral interna em y:
\int_{0}^{x}\bigl(3y+2x\bigr)\,dy =\int_{0}^{x}3y\,dy+\int_{0}^{x}2x\,dy.
Para cada termo:
\int_{0}^{x}3y\,dy=3\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{3x^{2}}{2}, \qquad \int_{0}^{x}2x\,dy=2x\cdot\bigl[y\bigr]_{0}^{x}=2x^{2}.
Somando,
\int_{0}^{x}\bigl(3y+2x\bigr)\,dy =\frac{3x^{2}}{2}+2x^{2} =\frac{7x^{2}}{2}.

Passo 3

Substituímos na integral externa e integramos em x:
\int_{0}^{1}\frac{7x^{2}}{2}\,dx =\frac{7}{2}\int_{0}^{1}x^{2}\,dx =\frac{7}{2}\cdot\frac{1^{3}}{3} =\frac{7}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{6}

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