Calcule
\iint_{R} \frac{x-y}{x+y} d A
onde R é a região compreendida pelas retas x-y=0, x-y=1, x+y=1 e x+y=3, fazendo a seguinte mudança de variáveis: x=\frac{1}{2}(u+v), y=\frac{1}{2}(u-v)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iint_{R} \frac{x-y}{x+y}\,dA
onde R é a região limitada pelas retas x-y=0, x-y=1, x+y=1 e x+y=3, usando a mudança de variáveis
x = \frac{u+v}{2},\quad y = \frac{u-v}{2}.
O conteúdo principal envolve transformar a região e o integrando para as variáveis (u,v) e calcular a Jacobiana.

Passo 2

Em termos de (u,v) temos
u = x+y,\quad v = x-y,
portanto o integrando fica
\frac{x-y}{x+y} = \frac{v}{u}.
As fronteiras de R em (u,v) são
v=0,\;v=1,\;u=1,\;u=3,
isto é, 0\le v\le1 e 1\le u\le3.

Passo 3

Calculamos a Jacobiana da transformação (u,v)\mapsto(x,y):
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} \tfrac12 & \tfrac12\\[4pt] \tfrac12 & -\tfrac12 \end{pmatrix} = -\tfrac12.
Tomando o valor absoluto, \bigl|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\bigr|=\tfrac12, logo
dA = \tfrac12\,du\,dv.]

Passo 4

Substituindo no integral, obtemos
\iint_{R}\frac{x-y}{x+y}\,dA = \int_{v=0}^{1}\int_{u=1}^{3}\frac{v}{u}\,\Bigl(\tfrac12\Bigr)\,du\,dv.

Passo 5

Primeiro integramos em u:
\int_{u=1}^{3}\frac{v}{u}\,du = v\int_{1}^{3}\frac{1}{u}\,du = v\bigl[\ln u\bigr]_{1}^{3} = v\ln 3.
Em seguida integramos em v:
\tfrac12\int_{v=0}^{1}v\ln3\,dv = \tfrac{\ln3}{2}\int_{0}^{1}v\,dv = \tfrac{\ln3}{2}\cdot\tfrac12 = \tfrac{\ln3}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\ln 3}{4}

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