onde R é a região compreendida pelas retas x-y=0, x-y=1, x+y=1 e x+y=3, fazendo a seguinte mudança de variáveis: x=\frac{1}{2}(u+v), y=\frac{1}{2}(u-v)
Passo 1
O enunciado pede calcular
\iint_{R} \frac{x-y}{x+y}\,dA
onde R é a região limitada pelas retas x-y=0, x-y=1, x+y=1 e x+y=3, usando a mudança de variáveis
x = \frac{u+v}{2},\quad y = \frac{u-v}{2}.
O conteúdo principal envolve transformar a região e o integrando para as variáveis (u,v) e calcular a Jacobiana.
Passo 2
Em termos de (u,v) temos
u = x+y,\quad v = x-y,
portanto o integrando fica
\frac{x-y}{x+y} = \frac{v}{u}.
As fronteiras de R em (u,v) são
v=0,\;v=1,\;u=1,\;u=3,
isto é, 0\le v\le1 e 1\le u\le3.
Passo 3
Calculamos a Jacobiana da transformação (u,v)\mapsto(x,y):