Considere o campo vetorial F(x, y)=(6 x+5 y, 5 x+4 y)
a) Verifique que F é campo vetorial conservativo.
b) Ache uma função f tal que F=\nabla f.
c) Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial F ao mover uma particula sobre a curva
C: r(t)=\left(t^{2}, 2 t\right), \quad 0 \leq t \leq 1,
usando b)

Passo 1

O enunciado apresenta o campo vetorial
F(x,y) = (P(x,y),\,Q(x,y)) = (6x + 5y,\;5x + 4y)
e pede:
a) mostrar que F é conservativo;
b) encontrar uma função potencial f tal que F = \nabla f;
c) calcular o trabalho de F ao longo da curva C\colon r(t)=(t^2,2t), 0\le t\le1, usando a função potencial.

Passo 2

Para verificar que F é conservativo num domínio simplesmente conexo (aqui todo \mathbb{R}^2), basta checar
\frac{\partial P}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial Q}{\partial x}.
Calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(6x+5y) =5, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(5x+4y) =5.
Como \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x, concluímos que F é conservativo.

Passo 3

Para achar a potencial f(x,y) satisfazendo \nabla f = F, integramos P em x:
f(x,y) = \int (6x+5y)\,dx = 3x^2 + 5xy + h(y),
onde h é função apenas de y.
Agora impomos \partial f/\partial y = Q:
\frac{\partial f}{\partial y} = 5x + h'(y) \stackrel{!}{=} 5x + 4y \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=4y \;\Longrightarrow\; h(y)=2y^2 + C.
Podemos desprezar a constante C, então
f(x,y) = 3x^2 + 5xy + 2y^2.

Passo 4

O trabalho de um campo conservativo ao longo de C é
W = f\bigl(r(1)\bigr) - f\bigl(r(0)\bigr).
Temos r(0)=(0,0) e r(1)=(1,2). Logo,
f(1,2) = 3\cdot1^2 + 5\cdot1\cdot2 + 2\cdot2^2 = 3 + 10 + 8 = 21, \qquad f(0,0)=0.
Então
W = 21 - 0 = 21.

Resposta

(a) Como \partial P/\partial y = 5 = \partial Q/\partial x em \mathbb{R}^2, F é conservativo.
(b) Uma potencial é
f(x,y) = 3x^2 + 5xy + 2y^2.
(c) O trabalho ao longo de C é W = 21.

Exercícios relacionados