Considere o campo vetorial
a) Verifique que
é campo vetorial conservativo.
b) Ache uma função
tal que
.
c) Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
ao mover uma particula sobre a curva
usando b)
a) Verifique que
b) Ache uma função
c) Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
Passo 1
O enunciado apresenta o campo vetorial
e pede:
a) mostrar que é conservativo;
b) encontrar uma função potencial tal que
;
c) calcular o trabalho de ao longo da curva
,
, usando a função potencial.
a) mostrar que
b) encontrar uma função potencial
c) calcular o trabalho de
Passo 2
Para verificar que
é conservativo num domínio simplesmente conexo (aqui todo
), basta checar
Calculamos
Como
, concluímos que
é conservativo.
Passo 3
Para achar a potencial
satisfazendo
, integramos
em
:
onde
é função apenas de
.
Agora impomos :
Agora impomos
Podemos desprezar a constante
, então
Passo 4
O trabalho de um campo conservativo ao longo de
é
Temos
e
. Logo,
Então
Resposta
(a) Como
em
,
é conservativo.
(b) Uma potencial é
(b) Uma potencial é
(c) O trabalho ao longo de
é
.