1. Achar o trabalho total feito no deslocamento de uma partícula num campo de fôrça dado por \mathbf{F}=3 x y \mathbf{i}-5 z \mathbf{j}+10 x \mathbf{k} ao longo da curva x=\ell^{2}+1, y=2 t^{2}, z=t^{3} de t=1 até t=2.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W = \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
no campo de força
\mathbf{F}(x,y,z) = 3\,x\,y\,\mathbf{i} \;-\;5\,z\,\mathbf{j} \;+\;10\,x\,\mathbf{k}
ao longo da curva parametrizada por
x = t^2 + 1,\quad y = 2\,t^2,\quad z = t^3,
com t variando de 1 até 2. Vamos usar a definição de linha de campo:
W = \int_{t=1}^{t=2} \mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 2

Primeiro escrevemos o vetor posição e sua derivada:
\mathbf{r}(t) = \bigl(t^2+1,\;2t^2,\;t^3\bigr),
\mathbf{r}'(t) = \bigl(2t,\;4t,\;3t^2\bigr).

Passo 3

Substituímos na força e calculamos o produto escalar:
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) = \bigl(3(t^2+1)\cdot2t^2,\;-5\,t^3,\;10(t^2+1)\bigr) = \bigl(6t^4+6t^2,\;-5t^3,\;10t^2+10\bigr).
Então
\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}' = (6t^4+6t^2)(2t) \;+\;(-5t^3)(4t)\;+\;(10t^2+10)(3t^2).
Expandindo e somando termos:
\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}' =12t^5+12t^3-20t^4+30t^4+30t^2 =12t^5+10t^4+12t^3+30t^2.

Passo 4

Integramos de 1 a 2:
W = \int_{1}^{2} \bigl(12t^5+10t^4+12t^3+30t^2\bigr)\,dt.
Antiderivada:
2t^6+2t^5+3t^4+10t^3
Avaliada entre 1 e 2:
W = \bigl[2\cdot2^6 +2\cdot2^5 +3\cdot2^4 +10\cdot2^3\bigr] \;-\;\bigl[2+2+3+10\bigr] =320 - 17 = 303.

Resposta

O trabalho total é 303.

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