Calcule \iint_{R} x^{2} y^{3} d A onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pela curva y=\frac{1}{x} e pelas retas y=1 e y=2.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\iint_{R} x^{2}y^{3}\,dA
onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas curvas y=\tfrac{1}{x}, y=1 e y=2. Para resolver, vamos representar R em coordenadas cartesianas e aplicar o Teorema de Fubini para escrever a integral dupla como iterada.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a hipérbole como
y=\frac{1}{x}\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1}{y}.
No primeiro quadrante, a região fica à esquerda da hipérbole, entre as retas horizontais y=1 e y=2. Dessa forma
R=\bigl\{(x,y)\mid 1\le y\le 2,\;0\le x\le \tfrac{1}{y}\bigr\}.

Passo 3

Pelo Teorema de Fubini, temos
\iint_{R}x^{2}y^{3}\,dA =\int_{y=1}^{2}\int_{x=0}^{1/y}x^{2}y^{3}\,dx\,dy.

Passo 4

Calcular a integral interna em x:
\int_{0}^{1/y}x^{2}y^{3}\,dx =y^{3}\int_{0}^{1/y}x^{2}\,dx =y^{3}\biggl[\frac{x^{3}}{3}\biggr]_{0}^{1/y} =y^{3}\cdot\frac{1}{3y^{3}} =\frac{1}{3}.

Passo 5

Agora integramos em y:
\int_{1}^{2}\frac{1}{3}\,dy =\frac{1}{3}\bigl[y\bigr]_{1}^{2} =\frac{1}{3}(2-1) =\frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}.

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