Encontre o limite \lim _{x \rightarrow 0} \cos (1 / x) \sin (x)
Escolha uma opção:
a. -1
b. 1
c. 0
d. NDA
e. Não existe o limite

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to0}\cos\bigl(1/x\bigr)\,\sin(x).
Aqui o conteúdo principal é cálculo de limite envolvendo função oscilante multiplicada por função que tende a zero. Vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).

Passo 2

Observamos que \cos(1/x) é sempre limitada entre -1 e 1. Logo, para todo x\neq0 vale
-1 \le \cos\bigl(1/x\bigr) \le 1.
Multiplicando essa desigualdade por \sin(x), que para x próximo de zero tem sinal idem ao de x, obtemos o confronto.

Passo 3

O confronto fica
-\,\bigl|\sin(x)\bigr|\;\le\;\cos\bigl(1/x\bigr)\,\sin(x)\;\le\;\bigl|\sin(x)\bigr|.
Isso porque \cos(1/x)\sin(x) fica preso entre \sin(x) e -\sin(x), e \sin(x) pode ser substituído por \lvert\sin(x)\rvert na desigualdade.

Passo 4

Sabemos que
\lim_{x\to0}\bigl|\sin(x)\bigr| = 0.
Pelo Teorema do Confronto, como ambas as funções -|\sin(x)| e |\sin(x)| tendem a zero, a função do meio também tende a zero:
\lim_{x\to0}\cos\bigl(1/x\bigr)\,\sin(x) = 0.

Passo 5

Comparando com as alternativas, vemos que o valor 0 corresponde à opção (c).

Resposta

c. 0

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