Ache todas as soluções das seguintes equações diferenciais.
y^{\prime \prime \prime}=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de terceira ordem
y'''(x)=x^2
ou seja, encontrar todas as soluções gerais dessa ODE por integrações sucessivas.

Passo 2

Integramos a terceira derivada para obter a segunda:
y''(x)=\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C_1,
onde C_1 é constante de integração.

Passo 3

Integramos y'' para obter y':
y'(x)=\int\Bigl(\frac{x^3}{3}+C_1\Bigr)dx =\frac{x^4}{12}+C_1\,x+C_2,
com C_2 nova constante de integração.

Passo 4

Integramos y' para obter y:
y(x)=\int\Bigl(\frac{x^4}{12}+C_1x+C_2\Bigr)dx =\frac{x^5}{60}+\frac{C_1\,x^2}{2}+C_2\,x+C_3,
onde C_3 é a terceira constante de integração.

Resposta

y(x)=\frac{x^5}{60}+\frac{C_1\,x^2}{2}+C_2\,x+C_3

Exercícios relacionados